2023届内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高三下学期大联考数学（理）试题含解析

这是一份2023届内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高三下学期大联考数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高三下学期大联考数学（理）试题 一、单选题1．设全集，已知集合，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合，先求出，再求出其补集即可得解.【详解】或，，所以，所以，即.故选：D2．已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（    ）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【分析】根据复数为纯虚数的条件可列出方程及不等式，即可求得答案.【详解】因为为纯虚数，故，则，解得.故选：B3．已知平面向量，满足 ，，的夹角为，若 ，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的数量积运算即可.【详解】，，的夹角为，得 ， ， .故选：D.4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（    ）一百零八塔全景A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状【答案】C【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.【详解】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选：C5．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则（    ）．A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】由焦准距求出，结合抛物线第一定义得，整理得，由代换即可求解.【详解】抛物线的焦点F到准线的距离为4，所以，依题意，，而，，故，即，则，故，故选：A．6．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知，满足，则p可以是（    ）A．23 B．31 C．32 D．19【答案】A【分析】根据二项式定理求得除以的余数，再结合选项即可求得结果.【详解】因为也即，故除以的余数为除以的余数2，又除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意.故选：A.7．如图，在直三棱柱中，，，设，分别是棱上的两个动点，且满足，则下列结论错误的是（    ）A．平面平面 B．平面C．平面 D．三棱锥体积为定值【答案】C【分析】根据面面垂直、线面平行、线面垂直、锥体体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，过作，垂足为，根据直三棱柱的性质可知平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，即平面，由于平面，所以平面平面，A选项正确.B选项，根据三棱柱的性质可知，即，由于平面，平面，所以平面，B选项正确.C选项，若平面，即平面，由于平面，所以，这与已知不垂直矛盾，C选项错误.D选项，，由于三角形的面积为定值、到平面的距离为定值，所以为定值，所以D选项正确.故选：C8．若等比数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列的公比为q，则，所以，又，所以，故选：A.9．已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作图，先找到外接球的球心，算出底面三角形BCD外接圆的半径,再构造三角形运用勾股定理求出外接球的半径.【详解】如图，设底面 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为r，由正弦定理得 ，过 作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，并且 ，外接球的半径 ，球O的体积为 ；故选：D.10．某盏吊灯上并联着个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是（    ）A．0.8192 B．0.9728 C．0.9744 D．0.9984【答案】B【解析】先计算个都不亮和只有个亮的概率，利用对立事件概率公式即可求至少有两个能正常照明的概率.【详解】个都不亮的概率为，只有个亮的概率为，所以至少有两个能正常照明的概率是，故选：B11．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解.【详解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，所以得：，又，则，即；设（），由双曲线的定义得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即双曲线的离心率，故选：C.12．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（    ）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到.【详解】因为为偶函数，所以，用代替得：，因为为奇函数，所以，故①，用代替得：②，由①② 得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，，解得：，所以时，，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性和周期性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称，若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为. 二、填空题13．在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为2，则______．【答案】##【分析】分析得到样本数据从小到大排序后中间两个数为1，3，即得解.【详解】∵样本数据中只有1，3，5，7，没有2，∴样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为1，3，∴样本数据中有一半是1，∴.故答案为：14．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:,解得：故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点O到点A的距离，即半径为，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.15．在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于__________（写出一个值即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出与x轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而得解.【详解】因为，令，即，得，即，则图象与x轴的所有交点为，因为其中点离原点最近，所以恒成立，不等式两边平方整理得，当时，，因为，故恒成立；当时，，即恒成立，因为，则，故；当，即时，显然上述不等式恒成立，综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.故答案为：（答案不唯一）.16．已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】，由题意知在上有两个不相等的实根，将其变形为，设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，的极大值为.画出函数的大致图象如图，易知当时，；当时，，，即.故答案为：. 三、解答题17．在中，角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若角的平分线与交于点，，，求线段的长．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）利用余弦定理角化边或利用正弦定理边化角即可求解；（2）在和中用两次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的长度，进而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.【详解】（1）解法一：由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因为，所以.解法二：由正弦定理可得，因为，，所以，因为，所以， 因为，所以.（2）如图所示由题意可得是角的平分线，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理边角互化得，在中由余弦定理解得，所以，在由余弦定理得，解得.18．如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面平面，A是线段上的点， 为等边三角形， ，.(1)若，求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2) 或 【分析】(1)运用余弦定理证明 ，再证明平面即可；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量计算直线与平面的夹角，即可算出 的长度.【详解】（1）依题意，BD＝2，在 中，CD＝4，∠BCD＝30°，由余弦定理求得 解得： ，∴，即 ，又平面SBD⊥平面BCD，平面SBD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD.∴BC⊥平面SBD，从而 ，在等边中， ，则 ，又，∴平面 ，∴；（2）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x轴，y轴，过点B作平面BCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面SCD的法向量为，则 即 ，令，则， ，设  ，则，故，则，设直线BA与平面SCD所成角为θ，故 ， 解得 或，即 或；综上， 或.19．近年来，美国方面泛化国家安全概念，滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业．随着贸易战的不断升级，我国内越来越多的科技巨头加大了科技研发投入的力量．为了不受制于人，我国某新能源产业公司拟对智能制造行业的“工业机器人”进行科技改造和升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接受益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666 当时，建立了y与x的两个回归模型；模型①：；模型②：．当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“工业机器人”科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2 （附：刻画回归效果的相关指数）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，根据我国的智能制造专项政策，国家科技、工信等部门给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．【答案】（1）模型①的相关指数小于模型②的相关指数，选择模型②，直接收益的预测值为：亿元；（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．【分析】（1）利用可得，所以选择模型②，代入到可求出结果；（2）利用表格中的数据求出当时，y与x满足的线性回归方程，再计算科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益，比较可得结果.【详解】（1）由表格中的数据，，所以，故，可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数，所以回归模型②的拟合效果更好，所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为：亿元；（2）当时，由已知可得，，，所以，所以当时，y与x的线性回归方程为，当时，科技升级直接收益的预测值为亿元，当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．【点睛】关键点点睛：掌握线性回归方程的求法是解题关键.20．如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为，点在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）根据焦距、直线的斜率之积求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算直线的斜率之积来证得结论成立，并求得定值.【详解】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得又，所以，解得所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得由，得，所以，设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.21．已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．【分析】（1）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值；（2）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为，()，通过构造函数即可证明.【详解】（1）因为，，①当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；，③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时，；当时，.（2）要证，只需证：，若有两个极值点，即函数有两个零点，又，所以是方程的两个不同实根，即，解得，另一方面，由，得，从而可得，于是．不妨设，设，则．因此，．要证，即证：，即当时，有，设函数，则，所以为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以成立，．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式合理变形，把双变量问题化为单变量问题.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程：（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：，点极坐标为且在上.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与交于A，B两点，求.【答案】(1)的普通方程为，直线的直角坐标方程为；(2)5 【分析】（1）用消元法化参数方程为普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把点极坐标化为直角坐标，写出直线的以点为起点的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理，由参数的几何意义得结论．【详解】（1）由消去得，为曲线的普通方程，，即，所以直线的直角坐标方程为，即；（2）点极坐标为，则直角坐标为，直线斜率为1，所以其标准参数方程可为(为参数)，代入圆的直角坐标方程得，化简得，两点对应的参数分别为，所以，所以．23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，且正数满足，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据去绝对值，对 进行分类讨论，求出解集；（2）根据绝对值不等式求出最小值，再构造，利用均值不等式进行求解.【详解】（1）解:由题意知当时，，不等式不成立；当时，令，解得，所以；当时，，不等式恒成立.综上所述，不等式的解集为.（2）方法一：证明：由（1）知，所以.因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故有.方法二：证明：由（1）知，所以.因为，当且仅当时取等号，又因为，当且仅当时取等号，所以.方法三：证明：由（1）知，所以.所以，当且仅当时取等号.【点睛】本题考查绝对值不等式，求绝对值不等式的最值，以及合理构造利用均值不等式进行求解，属于难题.