2023届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果.
【详解】因为
，则且，则可得
所以
故选:C
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数模的几何意义得出z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限．
【详解】因为，
所以点z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以复数z对应的点在第一象限．
故选：A．

3．已知向量非零，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合数量积的运算律以及投影向量运算求解.
【详解】∵，则，即，
又∵向量在向量方向的投影向量，
则，即，
且，则，
即向量与的夹角是.
故选：B.
4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（    ）
A． B．
C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为
【答案】A
【分析】确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.
【详解】.
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：当时，，错误；
对选项D：当时，，错误；
故选：A
5．若，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角，再利用两角差的正切公式，求出角的正切值.
【详解】因为，
展开可得，
所以，所以，
即，解得，
即；
，
因为，
  所以.
故选：C
6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）

A．18π B．16π C．14π D．12π
【答案】A
【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.
【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，
∵分别为的中点，则，
∴正方体的边长为，
故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，
故该半正多面体外接球的表面积为.
故选：A.

7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案.
【详解】每个区域种不同颜色的花，有种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13; 23; 34;26; 48; 56; 67; 78; 89)，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，
故选：D.
8．已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的对称性，将关于的方程有且仅有四个相异实根，转化为关于的方程在有且仅有两个相异实根，结合函数的图象，数形结合，求出的取值范围.
【详解】
，，
关于的方程有且仅有四个相异实根，
根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，
即在上有两个不相等的实数根，
化简得：.
令，，
由，得，由，得，
在为减函数，为增函数，
又时，，
时，，的简图如图所示：

直线恒过点， ，，
时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点， 此时方程在上有一个实数根，不符合题意；
由图可知当或时，直线与均有两个公共点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
∴关于的方程有且仅有四个相异实根时， 的取值范围为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把方程有四个根的问题转化为上有两个根的问题，通过构造函数，结合导数研究出函数的性质，结合简图找出临界状态，从而得到解答.

二、多选题
9．函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
【答案】AB
【分析】对A、B、C：根据函数图象求，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果.
【详解】对A：由图可知：，即，
∵，则，
故的值域为，A正确；
对B：由图可得：，则，B正确；
对C：∵，且，可得，
∴，
由图可得：的图象过点，
即，则，
且，可得，
可得，则，C错误；
对D：可得：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
D错误；
故选：AB.
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M（5，2）射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线射出，经过点N.下列说法正确的是（    ）

A．
B．若延长PO交直线于D，则点D在直线上
C．MQ平分∠PQN
D．抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等
【答案】BD
【分析】分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可得选项A错；求出直线的方程和点D的坐标，可得选项B正确；分别求出直线MQ和直线PQ的倾斜角、的正切，可得MQ不能平分，可得C错误；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确.
【详解】由题意可得，又因为，所以直线的斜率.
直线的方程为：，联立,得，
解得，，所以.从而，所以A选项错误；
又直线的斜率，所以直线的方程为：，延长交直线于D，则.因为直线的方程为：，所以点D在直线上，所以B选项正确；
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，可得为钝角，不能平分，所以C选项错误；
设抛物线在处的切线方程为:，
联立,得,
由，解得.
所以抛物线在处的切线方程为:，则该切线与直线所成角的正切值为2.
设该切线与直线所成角为，则.所以该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线所成角的正切值相同，即抛物线C在点P处的切线分别与直线、所成角相等，所以D选项正确.
故选：BD.
11．已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得，对A：根据不等式性质分析运算；对B：利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.
【详解】由，
可得，
对A：∵，则，
故，A正确；
对B：由选项A可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，B正确；
对C：，
令，则，C错误；
对D：，等价于，
构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，
由选项A可知：，则，
故，D正确；
故选：ABD.
12．已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（    ）
A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
【答案】BC
【分析】根据选项，可知A只有1条，根据，可知B有4条，做以为顶点，且与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥可知C有无数条，同理做与圆锥中轴线夹角为的母线可知该直线条数，选出选项即可.
【详解】：因为异面直线与直线所成角为，
所以过点与直线所成角均为的直线只有1条，故选项A错误；
因为平面与平面所成的二面角为，
则过点与平面所成角都是和的直线各有一条，
若过点与平面所成角都是，则在的两侧各有一条，
所以共条，故B正确；
因为点为平面外，且过点作与平面成角的直线，
则在以为顶点，底面在上的圆锥的母线，如图所示：

所以可以做无数条，故选项C正确；
过点作与平面成角的直线，形成以为顶点，
与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥的母线，设直线与的交点为Q,
不妨假设在a上，设直线a与的交点为Z,
所以，故能做出两条满足条件的直线，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：
（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；
（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；
（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角.

三、填空题
13．的二项展开式中的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【分析】运用二项式的通项公式直接进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以的系数是，
故答案为：
14．若为奇函数，则实数______.
【答案】
【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.
【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
15．已知圆：，直线交圆于、两点，若的面积为，则实数的值为______.
【答案】或##或
【分析】利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出，再利用三角形面积公式建立方程，求出的值.
【详解】圆C：，圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则为的边上的高，
由点到直线的距离公式得，，
由勾股定理得：，
设的面积，则，
所以，
两边平方得，，即，
所以，
因为，所以，
化简可得，
所以，
所以或.
故答案为：或.
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为______.
【答案】
【分析】先写出点、的坐标，再利用求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率的关系，从而得到实数λ取值范围.
【详解】根据题意知，由得，
不妨设点在第一象限，则点的坐标为.
由知，且，
从而得到点的坐标为.
将点的坐标代入椭圆C方程得，
整理得，即，
所以.
又因为，所以，即实数λ取值范围为.
故答案为：.

四、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】答案见解析.
【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.
【详解】选①②作条件，③做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，0 < A < π，
所以，，则，
由①知，，代入可得，，所以，
即：.
选①③作条件，②做结论
由③，得：，，
所以，则，
所以，0 < A < π，所以，
由③知，，
所以，所以，所以，
所以，.
选②③作条件，①做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，所以，，
由③，，
所以，得：，所以，
所以,，则，，
即：.
18．已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，，利用裂项相消法求和
【详解】（1）由题意可得：，
整理得，则
可得或，
故或.
（2）∵，由（1）可得，
则，
故
所以.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵底面ABCD为菱形，则，
又∵分别为的中点，则，
故，
注意到，平面，
则平面，
∵平面，则，
又∵，E为棱AB的中点，则，
平面，
∴平面，
且平面，故平面平面ABCD.
（2）若，，则为等边三角形，且为的中点，
故，
由（1）得，如图所示建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
设平面的法向量，则，
取，则，，
所以，
取平面的法向量，
则，
设二面角为，
则，可得，
所以二面角的正弦值为.

20．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6

(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生



女生



合计




并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；；.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)476人
(2)答案见解析

【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；
（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.
【详解】（1）由频数分布表知
，则，，
，
，
参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.
（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
列联表如下：
性别
活动天数
合计


男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100

零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关

依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.
21．已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果；
（2）设，根据题意求点的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与轴垂直.
【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，
代入点，即，
故双曲线C的方程为.
（2）由双曲线C的方程为的方程可得，
由题意可得点，则有：
当直线l与轴垂直时，则，
可得直线，令，则，
即点，
同理可得：点，
故，即；
当直线l不与轴垂直时，设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得直线，
令，则，
即点，
同理可得：点，
∵
，
即点关于x轴对称，故，即；
综上所述：的值为1.
【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
22．已知函数，为函数的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若为的极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意整理可得，分类讨论判断原函数的单调性；
（2）根据题意结合（1）中的单调性，可求得，结合零点存在性定理分别证明，，即可得结果.
【详解】（1）设，则，
注意到，则有：
①当时，则，故对恒成立，故的单调递减区间为；
②当时，令，解得，
当时，；当时，；
故的单调递增区间为，单调递减区间；
综上所述：①当时，的单调递减区间为；
②当时，的单调递增区间为，单调递减区间.
（2）若有两个极值点，则有两个变号的零点，
由（1）可得：
设，则在上递减，且
可得：，则，即，解得，
即，解得，
当时，则有：
①先证：，
设，则
令，解得；令，解得，
所以在递减，在递增，所以，
故对恒成立，
，
当时，则，即，可得，
故在上存在唯一一个零点，即；
②再证：，
当时，即，可得，
则，
∵当时，则，即，
可得，
故；
综上所述：.
∴.
【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．