2023届河南省高三下学期2月模拟考试（一）数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省高三下学期2月模拟考试（一）数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省高三下学期2月模拟考试（一）数学（文）试题 一、单选题1．若复数z满足，则（    ）A． B． C．或4 D．或【答案】D【分析】解方程求出，即可求出的值.【详解】由题意，在中，解得：或，∴或，故选：D.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式可求得集合，由并集定义可得结果.【详解】由得：或，即；由得：，即；.故选：D.3．双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根据双曲线方程及离心率定义求解即可.【详解】由双曲线知，所以离心率．故选：B4．已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可直接构造方程求解.【详解】，，，解得：.故选：A.5．年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：下列说法错误的是（    ）A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录D．年月该市星级酒店平均房价约为元【答案】D【分析】根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确；对于B选项，由图可知个数据的平均数为，故B正确；对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确；对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误．故选：D.6．已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（    ）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.【详解】由题知，均为等差数列，且，，，所以，得，所以数列的前5项和为．故选：B7．下列结论错误的是（    ）A．不大于0的数一定不大于1B．367人中一定有同月同日出生的两个人C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心【答案】C【分析】对AB，直接推理判断即可；对C，结合星期的周期计算余数判断；对D，考虑平面外的情况.【详解】对A，若，则，所以A正确．对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确．对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误．对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确．故选：C.8．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值【详解】由题意，，，∴，，∴，，∴，故选：D.9．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用长方体、圆柱体积公式及基本不等式求解即可.【详解】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则，轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，体积为，则，又因为，所以，故．故选：C.10．若是等比数列，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由下标关系求等比数列公比，即可写出通项公式求值.【详解】设，等比数列的公比为q，则，则，所以，，故．故选：D.11．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，再比较大小即可.【详解】设函数，则，则在上是减函数，又，则，又因为，，，所以，即．故选：C.12．如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析可知平面ACE，根据外接球的性质以及四面体ABCD的结构特征确定四面体ABCD的外接球的球心所在位置，进而可求半径和面积.【详解】如图1，取BD的中点E，由，，可得，又，所以为等边三角形．由，，可得，，，平面ACE则平面ACE，如图2，延长AE至Q，使得，延长CE至P，使得，∵的外接圆的直径，即，故易知P为的外心，Q为的外心，过点P作平面BCD的垂线，过点Q作平面ABD的垂线，两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．由，，可得，在中，，故四面体ABCD外接球的表面积为．故选：A.【点睛】结论点睛：（1）球的任何截面均为圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上. 二、填空题13．若，，且，则______．【答案】【分析】由题得，根据解决即可.【详解】因为，所以，因为，，所以，所以．故答案为：14．写出一个最小正周期不小于，且其图象关于直线对称的函数： ______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据正余弦函数性质可直接得到结果.【详解】根据正余弦函数性质可知满足题意的函数不唯一，如，，等.故答案为：（答案不唯一）.15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.【详解】令，则在为减函数，所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，即的取值范围为．故答案为：16．的最小值为______．【答案】【分析】由数形结合，转为求抛物线上动点到及准线距离和的最值.【详解】易知动点的轨迹为抛物线，C的焦点为，设P到C的准线的距离为d，，则，故的最小值为．故答案为：.【点睛】方法点睛：平方和的形式可看作两点距离公式，再根据点的坐标形式判断点所在的曲线，将问题转化为几何问题求最值. 三、解答题17．某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格： 第1箱第2箱第3箱第4箱第5箱第6箱第7箱第8箱第9箱第10箱烂果个数0001000011 假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元．(1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？(2)若采购员检查完前3箱（即第箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率．【答案】(1)5850元(2) 【分析】(1)计算10箱苹果的平均价格，利用样本估计总体即可求解；(2)利用古典概率模型求解.【详解】（1）由表可知，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱，所以这10箱苹果的价格为元，故采购员共1000kg苹果需要元．（2）设第箱分别记为A，B，C，D，E，F，G（其中A，F，G这3箱有一个烂果），从7箱中任选2箱，所有的情况为，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，共21种，其中没有A，F，G的有6种情况，故采购员按照这个价格采购苹果的概率为．18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面ABCD，，，，，E为PC的中点，且．(1)证明：平面PBC．(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明，由直线与平面平行的判定定理证明平面PBC．（2）证明平面APC，得，证明平面PCD，得的长度，计算体积.【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，因为，，所以，因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）如图，取AD的中点M，连接CM，AC，因为底面ABCD为梯形，，，，，所以，，且，所以，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以平面APC，所以，又，，所以平面PCD，所以，E是PC的中点，．．19．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．(1)当时，求OP的长；(2)当面积最大时，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.【详解】（1）由题意，在中，，，，∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由题意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，当且仅当时，等号成立，又，∴当且仅当时，的面积最大，此时，∴．20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）由导数法求切线；（2）转化为求与的交点个数，由导数法求得的单调性及极值，由数形结合判断交点个数.【详解】（1），则，则曲线在点处的切线方程为，即．（2）．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．所以．设函数，则，所以在，上单调递减，在，上单调递增，如图所示，由，得．当或时，零点的个数为2；当时，零点的个数为3；当时，零点的个数为4．21．已知椭圆的左焦点为．(1)设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值．(2)过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆方程及左焦点可得到，设，代入椭圆方程，即可计算出为定值；（2）设，，联立直线与椭圆可得二次方程，利用判别式可得，写出韦达定理，然后利用题意的向量关系可得，结合韦达定理即可求证【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，即，设，则，即，所以，故为定值．（2）依题意可知过点P的直线方程为，，，联立得，由，得，，．依题意可设，由点Q在线段AB上，得，所以，由，，得，即，则，即，将，代入上式并整理得，解得，所以．又，所以．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；（2）由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.【详解】（1），得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.（2）由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以.23．已知函数．(1)若，且，求m的值；(2)若，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m的值；（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.【详解】（1）因为，所以，由，得，则，解得，因为，所以，即，故．（2）证明：由，，得，，则，，所以，故．