2023届宁夏回族自治区银川一中高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏回族自治区银川一中高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏回族自治区银川一中高三第一次模拟考试数学（理）试题 一、单选题1．以下四个写法中：① ；②；③；④，正确的个数有（　　）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.【详解】对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④， ，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，故选:C.2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．【详解】解：复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，，故选：D．3．已知命题，，则的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】命题，的否定是：，.故选：A.4．已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义判断.【详解】，，不存在满足的点；满足的点在双曲线的下支；满足的点在双曲线的上支；满足的点的轨迹是整个双曲线；故选：C．5．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三视图还原几何体如图所示，截面为环形，进而可得结果.【详解】由题意可知，该几何体为底面半径为2，高为2的圆柱，从上面挖去一个半径为2，高为2的圆锥，所剩下的部分，如图所示：所以截面为环形，外圆的半径为2，内圆的半径为h，所以面积为：故选：D6．已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数单调性的定义以及分段函数的单调性进行求解.【详解】因为对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递增，因为，所以，解得，故A，C，D错误.故选：B.7．已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则等于（    ）A．37 B．35 C．31 D．29【答案】C【分析】代入公式计算得到，根据等差中项得到，解得，，计算得到答案.【详解】，，故；，即，解得，，.故选：C8．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（    ）A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以，解得，所以，所以管柱的高度为．故选：B．9．如图所示的直角坐标系中，角()、角()的终边分别交单位圆于两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点的纵坐标为，可求出该点的横坐标，进而根据三角函数的定义，可求出及，再根据，可求出，进而可求出，根据三角函数的恒等变换，可得，即可求出答案.【详解】由，得，设点的横坐标为，则，解得，所以，，，可知，又，所以，所以.则.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了任意角三角函数的定义及三角函数的恒等变换，解题的关键是利用三角函数的恒等变换，推出，再根据三角函数的定义求出，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10．长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式即可求解.【详解】设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率，在夏季去了“一眼望三国”的概率，所以去了“一眼望三国”的概率，故选：C.11．已知函数，若，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为，由上面结论可得，所以，其中，则.当时，当且仅当，，时等号成立；当时，，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.12．如图，在三棱锥中，侧棱平面，，，侧棱与平面所成的角为45°，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】易证平面，则，得到的面积，化简为，即最小时，的面积最小，此时，过作，交的延长线于点，则，连接，即为异面直线与所成的角或其补角．然后求得三边的长度，利用余弦定理求解.【详解】由题意知为等腰直角三角形，因为为的中点，所以．又平面，所以，又，所以平面，所以，故的面积，易知，所以，所以，当最小时，的面积最小，此时．当时，过作，交的延长线于点，则，连接，如图．所以即为异面直线与所成的角或其补角．因为平面，所以为直线与平面所成的角，所以，所以，所以，，又，所以，所以，，在中，易知，所以，故当的面积最小时，异面直线与所成角的正弦值为，故选：C．【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角一是几何法：常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．二是向量法：设异面直线AC，BD的夹角为β，则cos β＝. 二、填空题13．已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______．【答案】【分析】先通过得到，再写出的展开式的通式，令的次数为即可得到常数项.【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，，的展开式的通式为令，得所以展开式中常数项为故答案为：.14．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为________．【答案】##【分析】确定圆心为，当直线与垂直时，弦最短，计算得到答案.【详解】圆，即，圆心为，当直线与垂直时，弦最短，，故直线的斜率为.故答案为：15．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________．【答案】【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值．【详解】取得最小值，则公差，或，当时，，所以，又，所以，所以，，故，令，则，所以的最小值为．当，，不合题意．综上所述：，，，的最小值为．故答案为：．16．等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是______.【答案】【分析】设，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数性质求解作答.【详解】如图，设，则，线段中点，，，则有，，，由得，于是得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 三、解答题17．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望【答案】(1)72.6；76.5，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(2)分布列见解析，4 【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数，再进行比较即可；（2）由题意可得X满足二项分布，然后进行求解分布列和期望即可．【详解】（1）设A小区方案一的满意度平均分为，则，设B小区方案二的满意度平均分为，则，因为，所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；（2）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为，低于70分的频率为，现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，且，，，，，，，所以X的分布列为X012345P 由二项分布知数学期望．18．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.(Ⅲ)易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.19．某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上．(1)第一块草坪的三条边米，米，米，若，（如图），区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．(2)第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，（如图），区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．【答案】(1)平方米(2)450平方米 【分析】（1）利用余弦定理求得，进而在直角三角形中计算求解；（2）设，则，利用正弦定理求得，进而得到，然后利用三角函数恒等变换和三角函数的性质求得最小值.【详解】（1）∵，∴米，米．在中：，，在中：，所以平方米．（2）在中：，设，则， 在中：，．所以，所以，其中 ，当时取等号，所以，即当时，紫罗兰种植面积取得最小值450平方米．20．已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点（异于椭圆C的左右顶点），点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将点代入方程，结合焦距为2，解得答案.（2）设直线方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，得到，计算的直线方程，计算交点横坐标，化简得到答案.【详解】（1）由题意可知，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线斜率不为0，设直线PQ的方程为：，，，联立方程得：，则，，所以，又直线PE的方程为：，又直线QF的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点P运动时，点M恒在定直线上.【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理结合设而不求的思想，计算交点横坐标为定值是解题的关键.21．已知函数的图像与直线相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求与的函数关系；(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求得在点的切线方程，即可得该切线在x轴上的截距；（2）利用导数求函数在处的切线方程，再结合已知切线方程，整理联立即可得关系；（3）由已知先确定的值，再根据含参不等式恒成立，分类讨论孤立参数求新函数最值，即可得实数的取值范围．【详解】（1），，所以，函数在点处的切线方程是：，令得，所以该切线在x轴上的截距等于．（2）因为，，函数的图像在处的切线方程是：，即，两端乘以b变作：①又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．（3）函数的零点为，时．对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．①当时，对恒成立，此时．②当时，恒成立．设，求得．时，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得极小值，，此时．③当时，恒成立，与②同，设，．令，则，在上单调递增．所以，时，得，在上单调递减．所以，时，取得最大值，此时．整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．所以实数的取值范围为．22．如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．(1)当时，求B，C两点的极坐标；(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)点B的极坐标为，点C的极坐标为(2) 【分析】（1）连接，可得到，通过数据可得到，即可得到点B的极坐标，再算出，即可得到点C的极坐标；（2）设，，通过题意可得到，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案【详解】（1）连接，因为是直径，所以，在中，，，∴，∴点B的极坐标为，在正方形OBCD中，，，∴点C的极坐标为；（2）设，，且①，由题意可得的直角坐标为，所以曲线M的普通方程为即将代入曲线M的普通方程得极坐标方程为，当时，O，B两点重合，不合题意，∴点B的极坐标方程为，将①式代入得点D的极坐标方程为23．已知．(1)若均为正数，证明，并且写出等号成立的条件；(2)若，且恒成立，求的取值范围；【答案】(1)证明见解析，当且仅当时取等号；(2)的取值范围或. 【分析】（1）、三次利用基本不等式，再相加整理化简即可证明；（2）、利用绝对值三角不等式求出，根据题意可知，解不等式即可得到的取值范围.【详解】（1），，，，，，三式相加可得，，当且仅当时取等号.,,当且仅当时取等号.（2）若，，，，，，，当且仅当时等号成立，，恒成立，，即或．的取值范围为或.