2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第二次模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第二次模拟考试数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三第二次模拟考试数学（文）试题 一、单选题1．若集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数单调性求集合M，再根据交集运算求解.【详解】，，则.故选：B.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可根据得出，然后通过复数的模的相关性质即可得出结果.【详解】因为，所以，则，故选：C.3．是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不正确的是（    ）A．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数B．月跑步里程最大值出现在10月C．月跑步里程逐月增加D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】C【分析】根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论.【详解】由所给折线图可知： 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项A正确；月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；月跑步里程并不是逐月递增，故选项C错误； 1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，故选项D正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.4．已知，若，则实数的值为（    ）A． B．或 C． D．不存在【答案】B【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.【详解】由题意，，，即.当，即时，，解得，满足题意；当，即时，，解得，满足题意.所以或.故选：B.5．在等比数列中，，，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式列式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，所以，解得，所以，故选：A6．已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据函数图象得到函数图象的一个对称中心与的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.【详解】解：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，故图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.故选：D.7．从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和恰为质数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合古典概型运算求解.【详解】从2~8的7个整数中随机取2个不同的数，则有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共有21种不同的取法，若2个数的和恰为质数，不同的取法有：，，，，，，，，共8种，故所求概率.故选：B.8．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误.故选：A.9．若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算出，，再根据利用两角差的正弦公式展开计算可得.【详解】因为所以，所以，因为所以，因为，所以，所以.故选：D10．如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（    ）A．A，M，O三点共线B．的长度为1C．直线与平面所成角的正切值为D．的面积为【答案】C【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断D.【详解】对于A，连结，则，四点共面，平面，，平面，又平面，在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上.三点共线，故A正确：对于B，设直线与平面的交点为，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，为中点，为中点，同理可得为的中点，，故B正确；对于C，取中点，连接，，平面，则即为直线与平面所成角，又平面平面，故即为直线与平面所成角，又，，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：C11．已知函数，则下列说法错误的是（    ）A．当时，函数不存在极值点B．当时，函数有三个零点C．点是曲线的对称中心D．若是函数的一条切线，则【答案】B【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，此时函数在上单调递增，所以，当时，函数不存在极值点，A对；对于B选项，当时，，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为，函数的极大值为，极小值为，又因为，由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，当时，，因此，当时，函数有一个零点，B错；对于C选项，对任意的，，所以，点是曲线的对称中心，C对；对于D选项，设是函数的一条切线，设切点坐标为，，由题意可得，①所以，曲线在处的切线方程为，即，则，②联立①②可得，D对.故选：B.12．已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为(  )A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆方程可得,易得为的焦点.设,根据抛物线定义和圆的性质可得,又,将的最大值的问题转化为函数最值问题,利用二次函数求解即可.【详解】因为圆,所以,易得为的焦点.设,因为点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,则,又,所以,令,则,所以当,即时,取得最大值,最大值为.故选:A. 二、填空题13．若双曲线的一条渐近线方程为，则___________.【答案】4【分析】写出渐近线方程，根据条件列方程求解.【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，其中且 ，其渐近线方程为 ，由条件知一条渐近线方程为，即 ，所以 ，解得；故答案为：4.14．已知向量，满足，，，则在上的投影为___________.【答案】【分析】两边平方，求出，从而利用向量投影公式求出答案.【详解】因为，所以，则在上的投影为.故答案为：15．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________.【答案】【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图的弧长为：.设该圆锥的底面圆的半径为，所以，解得，所以该圆锥的高，所以该圆锥的体积.故答案为：.16．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.【答案】6【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列数列的对称性，可得到0，，从而得出结果.【详解】因为，所以，又，所以0，所以，则，故答案为：6. 三、解答题17．造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差x20151332直径偏差y6.53.53.51.50.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．参考数据：，．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，．【答案】(1)(2)34 【分析】（1）根据最小二乘法公式求出，即可得出线性回归方程；（2）利用回归直线方程代入，求解即可.【详解】（1）,，，，故y关于x的线性回归方程为（2）当树干高度为时，高度偏差(cm)，，所以树干直径约为，即预测高度为的这种树苗的树干最大直径为34毫米.18．在中，内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得到，由辅助角公式求出答案；（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，从而求出，得到答案.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）在中，由正弦定理得，所以.因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即线段的最大值为.19．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．(1)证明：平面ABE；(2)若，，，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；（2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可.【详解】（1）证明：连接交于点，取的中点，连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以平面ABE，（2）取的中点为，连接，因为，，所以为等边三角形，所以，，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD ，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，因为是直角梯形，，，，，所以，所以.20．已知椭圆过点，直线与交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为.(1)求的标准方程；(2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，时，点坐标为；当时，点坐标为 【分析】（1）根据中点弦点差法得，再根据，得，再结合椭圆过点解方程即可得答案；（2）设中点，假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，进而将问题转化为，，再联立，结合韦达定理讨论，同时成立的情况.【详解】（1）解：设，则，所以，由题知直线的斜率.因为在椭圆上，所以，两式相减得，即，又，所以，即.又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：联立消整理得：.因为直线与椭圆交于两点，故，解得.设，则.设中点，则，故.假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，所以，解得，故.又因为，所以，所以，即，整理得.所以，代入，整理得，即，所以或，即存在使得是以为顶点的等腰直角三角形.当时，点坐标为；当时，点坐标为.此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.21．已知．(1)若在上单调递增，求a的取值范围，(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析. 【分析】（1）分离参数，转化为在上恒成立，求出函数的最大值即可得到结果；（2）根据题意转化为，然后求得的最小值即可证明.【详解】（1）由，可得，因为在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，即在上单调递减，所以，由在上恒成立，可得，所以实数的取值范围为.（2）因为函数，，令，则，即时，，则单调递增；即时，，则单调递减；所以，即（当且仅当取等号），因为函数，，则，令，则，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减；所以，即（当且仅当取等号），因为，且（当且仅当取等号） ，（当且仅当取等号），所以（两个等号不同时成立这里反为大于号），令，即证，因额为，令，可得，所以，当时，，则函数单调递减；当时，，则函数单调递增；所以，所以，即当时，．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为， l与曲线C的交点为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2)设所对应的参数分别为,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】（1）由,得． 将代入得,, 所以C的直角坐标方程为． （2）设所对应的参数分别为,因为直线l的参数方程为为参数所以M在l上把l的参数方程代入可得所以,所以,故=.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.23．已知函数．(1)解不等式；(2)若对任意实数都成立，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值，求解绝对值不等式；（2）由绝对值三角不等式，则恒成立，利用基本不等式求的最大值．【详解】（1），不等式等价于： 或或 ，解得或.所以不等式解集为：.（2）恒成立，即，由，则，即，当且仅当时等号成立.所以的最大值为.