2023届四川省内江市高三第一次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届四川省内江市高三第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数z，然后由模的公式求解.

【详解】因为，

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2．设集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先分别求出集合，再计算即可.

【详解】，

则

又，

故选：D.

3．此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为.因为人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取名学生参加防控知识测试，得分（分制）如图所示，以下结论中错误的是（    ）

A．这名学生测试得分的中位数为

B．这名学生测试得分的众数为

C．这名学生测试得分的平均数比中位数大

D．从这名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好

【答案】D

【分析】根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，这名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第和名学生成绩的平均数，

由统计图可知：中位数为，A正确；

对于B，由统计图可知：这名学生测试得分的众数为，B正确；

对于C，这名学生测试得分的平均数为，即平均数比中位数大，C正确；

对于D，这名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌握的不够好，D错误.

故选：D.

4．已知向量，若与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先表示出的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于m的方程，解得答案.

【详解】由题意得，

故 ，

解得 ，其中不合题意，舍去，

故，

故选：D

5．的内角A、B、C所对的边分别为，已知，，，则（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【分析】先通过正弦定理得，则可求出，再利用余弦定理求即可.

【详解】因为， 由正弦定理得，

又，

由余弦定理，

则

故选：B.

6．已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得.

【详解】由已知，

则，解得，

故选：A.

7．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

8．习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（    ）

（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值.

【详解】设排放前需要过滤次，则，，

，

又，，即排放前需要过滤的次数至少为次.

故选：C.

9．在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.

【详解】由题意，在区间内随机取两个数，满足，

则不等式组所围成的正方形的面积为，

由这两个数的和小于，即，

作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

则阴影部分的面积为，

所以这两个数的和小于的概率为.

故选：C.

10．已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先用二倍角公式与辅助角公式化简，结合函数单调性，列出不等式组，解出实数的取值范围，进而求出答案.

【详解】，

由函数在上单调递减.且，，解得：，

因为，当且仅当时，有满足要求的取值，即.

故选：C.

11．已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.

【详解】函数的定义域为，

，故为偶函数，

当时，，令，则，

即单调递增，故，

所以，则在时单调递增，

由于

因为，

而，，

即 ，则，

故选：B

12．已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．4

【答案】C

【分析】设，由，得，作出，的图象，由与的图象有4个交点求解.

【详解】解：设，由，得，

作出，的图象，如图所示：

设直线与相切，切点为，

则，解得，，

设直线与相切，切点为，

则，解得，，

故直线与的图象有4个交点，

不妨设，且，

由图象可知：，

由的函数图象可知无解，有一个解，

有三个解，有两个解，

所以有6个零点，

故选：C

二、填空题

13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．

【答案】9

【详解】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为 可得 ，

乙组的平均数： ，解得： ，

则: .

点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．

14．若实数满足不等式组，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】根据不等式组可作出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小值的求解，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】根据不等式组可得可行域如下图阴影部分所示，

当取得最小值时，直线在轴截距最小，

由图象可知：当过时，在轴截距最小，.

故答案为：.

15．已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.

【答案】

【分析】由条件可得，然后可算出答案.

【详解】因为，是定义域为的奇函数，

所以

因为当时，有，所以

所以

故答案为：

16．已知正实数a、b满足，则a、b一定满足的关系有______．（填序号）

①；②；③；④．

【答案】①③.

【分析】因为，所以，即，即，可得，，结合基本不等式即可求解最值，进而判断可得答案.

【详解】因为，所以，即，即，

可得，，所以，

对于①，

当且仅当时等号成立，所以，故①正确.

对于②，

当且仅当时等号成立，所以，故②错误.

对于③，，

当且仅当，时等号成立，所以，故③正确.

对于④，

当且仅当，时等号成立，所以，故④错误.

综上所述：正确的序号为①③.

故答案为：①③.

三、解答题

17．第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生：名，其中男生名，女生名，按性别分层抽样，从中抽取名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下：

(1)若，，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率；

(2)若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少人，试根据以上列联表，判断是否有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

附：

，.

【答案】(1)

(2)没有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”

【分析】（1）根据分层抽样原则可确定抽取的名学生中，女生有人，由此可列举出所有可能的取值结果，并确定的取值结果，根据古典概型概率公式可求得结果；

（2）根据可求得的值，进而得到，由列联表可求得，对比临界值表可得结论.

【详解】（1）根据分层抽样原则知：抽取的名学生中，女生有人，

若，，则所有可能的取值结果有，，，，，，，，，共个；

其中满足的有，，，，共个，

参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为.

（2）由（1）知：，又，，，

，

，

没有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

18．已知函数，．

(1)已知，求的值；

(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；

（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.

【详解】（1），

，

；

（2）由（1）得，

则，

，又，

，

又向量与垂直，

，

即，又

，则，

由正弦定理，

则，

的周长为.

19．数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；

（2）由（1）知，，再结合裂项求和与数列的单调性得，再解不等式即可.

【详解】（1）解：当，，①

，，②

①－②得（*）

在①中令，得，也满足（*），所以，，

（2）解：由（1）知，，

故，

于是，

因为随n的增大而增大，且恒小于1，

所以，解得或

所以实数m的取值范围是或.

20．已知函数.

(1)求在区间上的最值；

(2)若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.

【答案】(1)最大值，最小值；

(2).

【分析】（1）求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值；

（2）设切点，进而得方程有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解即得．

【详解】（1）∵，

，

由解得或，

由解得，

又，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，

∴的最大值是，最小值是；

（2）设切点，则，

则切线为，

∴

整理得，

由题意知此方程应有3个解，

令，

则，

由解得或，由解得，

∴ 函数在，上单调递增，在上单调递减，

∴ 当时，有极大值，且极大值为，

当时，有极小值，且极小值为；

要使得方程有3个根，

则，

解得，

∴ 实数的取值范围为．

21．已知函数

(1)当时，求f（x）的单调递增区间：

(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.

【答案】(1)和；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求解；

(2)根据极值点的定义可得方程有两个不相等的实根()，由正弦函数图象可知，

利用导数求出函数的极值，进而构造函数，再次利用导数求出即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，，

，令或，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以函数的单调递增区间为和；

（2），

因为函数恰有两个极值点，

所以方程有两个不相等的实根，设为且，

当时，函数图象关于直线对称，

则，即，

因为，所以，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以分别是函数的极大值点和极小值点，

即，，

于是有，

因为，所以，

所以，而，

所以，

设，，

则，令或，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最小值，即，

因此有，即.

【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.

22．在直角坐标系中，已知曲线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线与直线交点的极坐标.

【答案】(1)曲线；直线

(2)和

【分析】（1）根据参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可；

（2）联立曲线与直线的直角坐标方程，可求得交点的直角坐标，根据直角坐标与极坐标互化的方法可求得极坐标.

【详解】（1）由得：，即曲线的普通方程为；

由得：，

则，即直线的直角坐标方程为.

（2）由得：或，即曲线与直线交点为和，

曲线与直线交点的极坐标为和.

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后解不等式求得结果；

（2）将问题转化为在上恒成立，得到，从而确定，可得，解不等式组求得结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为.

①当时，，解得：，；

②当时，，解得：，；

③当时，，解得：，；

综上所述：不等式的解集为或.

（2）由知：，

，在上恒成立，

，即，，解得：，

，解得：，即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是能够根据将问题转化为恒成立问题的求解，从而将问题转化为参数与的最值之间大小关系的问题.