2023届新疆阿勒泰地区高三素养调研第一次模拟考试数学（理）试题（问卷）含解析

这是一份2023届新疆阿勒泰地区高三素养调研第一次模拟考试数学（理）试题（问卷）含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届新疆阿勒泰地区高三素养调研第一次模拟考试数学（理）试题（问卷） 一、单选题1．设集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集定义即可求得.【详解】由题意可得：，∴故选：B2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可【详解】因为，所以故选：B3．已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以．圆锥的体积 故选：C4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年一公元前369年）通过下图来构造无理数，记，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用锐角三角函数求出，再利用两角和的余弦公式和二倍角公式计算可得.【详解】由图可知，，，，，，.故选：A.5．设分别为双曲线的左､右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义，结合解方程组、双曲线的离心率公式进行求解即可,【详解】由双曲线的对称性，不妨设在右支，则有，而，代入，或舍去，由，或舍去，故选：C6．如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（    ）A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及【答案】D【分析】根据统计图读取相关数据，再逐项判断各选项即可.【详解】对于A，由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%，2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%，2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%，2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%，2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%，A正确；由统计图(1) 2016-2021年，我国R&D经费总量（单位：亿元）依次为，所以2016-2021年期间，我国R&D经费总量逐年增加，由统计图(2) 2016-2021年，我国基础研究经费（单位：亿元）依次为， 所以2016-2021年期间，我国基础研究经费逐年增加，B正确；所以2016-2021年，我国R&D经费总量的平均值为（亿元），所以2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元，C正确；由图(2) 2016-2021年我国基础研究经费的中位数为（亿元），2016-2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为，D错误；故选：D.7．设函数的图象关于原点对称，且相邻两对称轴之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可知是周期为的奇函数，从而得出解析式，再由正弦函数的单调性即可解决.【详解】∵的图象关于原点对称∴，即又∵的相邻两个对称轴之间距离为，∴，即故，∴根据正弦函数的单调性可得：∴.故选：A8．从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，则，，根据条件概率公式得到答案.【详解】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，则，，故.故选：A9．在中，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出的值.【详解】,,,则，，,,,,,,即.故选：D.10．已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出点P的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可.【详解】设点，显然圆与x轴相离，即点不共线，于是是锐角当且仅当，而，依题意，，即恒成立，表示点到原点的距离，又点是圆上任意一点，其圆心为，半径为1，因此，从而，又，解得，所以的取值范围为.故选：B11．.设，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造：，利用其单调性即可判断.【详解】令则在上单调递增，即∴在上单调递增，即而∴在上单调递增即∴综上故选：D【点睛】本题考查函数值比大小，可以利用构造新函数的方法，本题需要利用泰勒展开式，属于较难题.12．四棱锥中，，其余各条棱长均为1，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设四边形的半径为，求得和，进而求得，在中，由余弦定理可得，设，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图（1）所示，四棱锥中，，其余各条棱长均为1，所以点在底面内的射影为底面四边形的外接圆的圆心，即四边形为圆内接四边形，如图（2）所示根据四边形的对称性，可得为外接圆的直径，所以，设四边形的半径为，在直角中，可得，设，可得，所以，可得，在中，由余弦定理可得，设，且，可得，，则，设异面直线与直线所成角的范围为，其中，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：C.  二、填空题13．若函数为偶函数，则__________.【答案】2【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.【详解】∵函数为偶函数∴即又∵∴故答案为：14．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到轴的距离为__________.【答案】##【分析】由题意求得直线，得出两点的横坐标关系为：，再由抛物线的定义可得结果.【详解】易知：抛物线的焦点且准线，如图所示：设中点为过分别向准线作垂线，垂足分别为，设与y轴交于D，∴直线，与抛物线方程联立可得,，由梯形中位线可知：，则.故答案为：15．已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.【答案】1【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值.【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根，，解得；，得，是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线，，故，若在上的最大值为，当时，在上是增函数，，当时，在上是增函数，在上是减函数，，综上，的最大值为1.故答案为：1.16．已知函数，若任意，使得，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据已知不等式的形式构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】，构造新函数，问题转化为任意，使得成立，当时，，所以此时函数单调递减，于是有在上恒成立，，设，当时，单调递增，故，所以有，故答案为：【点睛】关键点睛：进行两次构造新函数，利用导数的性质是解题的关键. 三、解答题17．根据某种病毒的变异发展实际，某地防控措施有了重大调整.其中，老人是否接种疫苗备受关注，为了了解某地区老人是否接种了疫苗，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名老人，结果如下：    性别接种情况男女未接种2010已接种230240 (1)估计该地区老人中，已接种疫苗的比例；(2)能否有的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关？(3)以（1）中统计比例作为该地区老人接种疫苗的概率，随机调查10名老人，记接种疫苗人数为，求的均值.（结果保留到个位）参考公式：，其中.0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879  【答案】(1)94%(2)没有的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；(3)9 【分析】（1）根据表格数据可知老年人中已接种人数为，总人数500，代入计算即可求解；（2）计算与6.635比较大小，若大于表示有99%的把握，若小于则表示没有99%的把握；（3）根据题意，代入公式计算即可求解.【详解】（1）由表格数据可知该地区老人中，已接种疫苗的比例为.（2）根据表格将数据代入可得：没有的把握认为该地区的老人是否接种疫苗与性别有关；（3）由已知得，则，因此，的平均值为9.18．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点为中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）通过线线平行证线面平行，即在上取一点，使得，得四边形为平行四边形，从而得证；（2）建立以为中心的空间坐标系，利用二个面的法向量夹角求得二面角的余弦值.【详解】（1）如图，在上取一点，使得.四边形为平行四边形，，又平面平面，直线平面.（2）由条件可以为坐标原点，正方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则令，解得：；设平面的法向量为，则令，解得：设二面角为.由图象可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为：.19．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；（2）利用裂项法求和即可.【详解】（1），解得，或（舍）（2）20．在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设动点，则的中点，根据坐标转化与直线斜率与坐标的关系，整理运算即可得动点的轨迹的方程；（2）设直线，设，联立直线与椭圆方程即可得交点坐标关系，再根据垂直平分线与轴交于点的横坐标得的范围，从而可求弦长的取值范围.【详解】（1）设动点，则的中点，所以则，依题意，，整理得，又，故动点的轨迹方程为；（2）设直线，设，联立直线与椭圆方程，得，则恒成立，所以由韦达定理可得，可得的中点的纵坐标的中点为，线段的垂直平分线方程为，，由已知条件得：，解得，，，，所以.21．已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上存在零点，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2) 【分析】（1）对求导，判断的正负即可得出答案；（2）将题意转化为，令，对求导，求出的单调性和值域，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由已知，，有，令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：0-0+递减极小值递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）令，则存在，使得两边同时除以得即令由已知，即，则函数在上单调递增，故，即22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.(1)求直线和曲线的普通方程；(2)设点，若直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据直线的参数方程消去参数,能求出直线的普通方程；曲线的极坐标根据，由此能求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标系方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数）.则消得，所以直线普通方程为.因为，所以曲线普通方程为；（2）将直线的参数方程代入得：,∵,异号，.23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，都有，求正整数的最小值.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况即可求解；（2）利用绝对值三角不等式转化为，接着解不等式即可求解.【详解】（1）当时，，∴当时，不等式化为，即；当时，不等式化为，此时不等式解集为；当时，不等式化为，即；综上，当时，求不等式的解集为；（2）∵，∴转化为，解得或∴正整数最小值3.