2023届江苏省南通市如皋市高三下学期高考适应性考试（二）数学试题含答案
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数 学 试 题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1． 已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2． 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150
4．若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记两点到直线l的距离分别为，动点P满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6． 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆台两个底面圆的半径分别为和，圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则圆台侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8． 若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9． 已知平面向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为锐角
C．若为非零向量，则存在实数，使得
D．若在上的投影向量为，则或
10． 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器以为轴顺时针旋转，则（ ）
A．有水的部分始终是棱柱
B．水面所在四边形为矩形且面积不变
C．棱始终与水面平行
D．当点在棱上且点在棱上（均不含端点）时，是定值
11．函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，都存在，使得，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B．
C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若的展开式中各项系数和为，则该二项式展开式中所有有理项的系数之和为__▲__．
14．已知点在双曲线上，且中点在直线上，直线的中垂线与轴交于点，则双曲线的离心率为__▲__．
15．若函数的定义域为，且，，则
__▲__．
16．在四棱锥中，底面为正方形，， 为空间中一动点，为的中点，平面．
若，则的轨迹围成封闭图形的体积为__▲__；若与平面所成的角等于，则平面与的轨迹的交线长为__▲__．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)
已知的内角对应的边分别为，的面积为．
（1）求证：；
（2）点在边上，若，求．
18．(本小题满分12分)
已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，为CD的中点，，为的重心．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．(本小题满分12分)
2023年3月11日，丁俊晖在泰国巴吞他尼府举行的2023斯诺克6红球世锦赛决赛中以8:6战胜泰国球员塔猜亚·乌努，第二次夺得这项赛事冠军．丁俊晖认为“中式台球更易在职业和业余之间找到平衡，更容易让台球运动在全中国乃至全世界流行起来．”为了促进中国台球运动的发展，某体育公司面向社会推出“台球培训”活动，由以往培训经验测算这项“台球培训”成本为800元/人，为了确定其培训价格，调查了对这项“台球培训”有意向培训的人员预期价位，并将收集的100名有意向培训的人员预期价位整理如下：
有意向培训人员预期价位（元/人） | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |
人数 | 10 | 20 | 50 | 20 |
假设当且仅当这项“台球培训”的培训价格小于或等于某位有意向培训人员的预期价位时，该有意向培训的人员就会参加培训．设这项“台球培训”价格为x（单位：元/人），，且每位有意向培训的人员报名参加培训活动相互独立．用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率．
（1）若，已知某阶段有4名有意向培训的人员询价，为这一时段该项“台球培训”的参加人数，试求的分布列和数学期望；
（2）假设共有名有意向培训的人员，设该公司组织“台球培训”活动所得总利润为（单位：元），当这项培训活动的销售价格x定为多少时，的数学期望达到最大值？
21．(本小题满分12分)
已知动圆M过点且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线于点S和T．若四点共圆，求的值．
22．(本小题满分12分)
设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若在区间上单调递减，其中e为自然对数的底数，求实数的取值范围．
2023年高考适应性训练（二）
一、单项选择题
- C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C
二、多项选择题
- AD 10.ACD 11.BD 12.BC
三、填空题
13.32 14. 15. 16.；
四、解答题
- 解：（1），则
即，即
故，由正弦定理得 ....................
（2）由，由（1）可知
则，可得为等边三角形，
则，从而
在中，由余弦定理可得
又，所以，故为等腰三角形
所以 ....................
- 解：（1）是公差为的等差数列，
，即
当时，，
又，则 ....................
是正项等比数列，设公比为，则
，而，故，
，即 ....................
（2）
....................
- 解：（1）记等腰梯形的高为
在等腰梯形中，
，
，为中点，
，为等边三角形，则
在和中，
则与全等
又
而面
面 ....................
（2）在面内，过作，与AB交于点N，
以为坐标原点建系如图，则，，，，
从而，，，
， ....................
设平面的一个法向量为
则， ....................
所以直线与平面所成角的正弦值为 ....................
- 解：（1）当时，
的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.0001 | 0.0O36 | 0.0486 | 0.2916 | 0.6561 |
....................
答：数学期望为3.6 ....................
（2）当时，记参加的人数为，
，则
当时，记参加的人数为，
，则
当时，记参加的人数为，
，则
当时，达到最大值 ....................
21解：（1）设，则，解得 ....................
（2）设直线的方程为代入得
，设，，则
....................
又直线的方程为，即，则
同理： ....................
则
....................
四点共圆，
....................
即，又，则 ....................
22解：（1）
①当时，定义域为，令，则；
②当时，定义域为，令，则；
当，无意义. ....................
综上：当时，增区间为；
当时，增区间为. ....................
（2）由题意在恒成立，则 ....................
且在恒成立， ................
令，
则，令，则恒成立
故在上单调递减，即 ....................
当时，，故，即
从而在上单调递增，则
令，则
函数在上单调增，又
所以 ................................................
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