2023届青海省部分名校高三下学期适应性检测数学（理）试题含解析

这是一份2023届青海省部分名校高三下学期适应性检测数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届青海省部分名校高三下学期适应性检测数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解二次不等式得集合，由函数的定义域得集合，再求集合即可.【详解】因为，所以，又，所以，则．故选：B.2．已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出方程在复数范围内的根，再根据题意求得复数，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】复数范围内方程的根为，因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，则．故选：D.3．已知平面向量，，且，则（    ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的数量积的坐标表示计算的值，再求模即可.【详解】，则，所以．故选：C4．已知互相垂直的两个平面，交于直线，若直线满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为 ,且,可得选项B正确选项D错误，根据面面垂直可得选项AC错误.【详解】因为，，所以，选项B正确，选项D错误；又，所以或,A,C错误；故选:B．5．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（    ）A．90 B．96 C．102 D．120【答案】D【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可；【详解】设参加体检的人数是，则，解得．故选：D6．已知实数满足约束条件，则的最大值是（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，（阴影部分），解方程组 ，得，故，解，可得，故，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,根据的几何意义可知的最大值为2，，故选：C7．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以，解得．故选：A.8．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，，由求解即可.【详解】解：由，解得，则，则．故选：A.9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由三角函数的图象变换及诱导公式可得.再利用余弦函数的单调性即可.【详解】，令，，解得，，故的单调递增区间为．故选：D10．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,设的中点为D，则在上，且,又,则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为,故选：B11．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，，则，解得，，，，又因为，所以有，解得，则该双曲线的离心率为．故选：A12．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.【详解】解：因为，所以．设，则，故在上单调递增．因为，所以，即．设，则，当时，，则在上单调递减．因为，所以，即．综上．故选：B 二、填空题13．函数的图象在点处的切线的斜率为______．【答案】5【分析】求出函数的导数，将代入，可求得答案.【详解】因为，所以,即函数的图象在点处的切线的斜率为5，故答案为：514．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：15．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有___________种.【答案】252【分析】先选能担任语言服务的人员，再选能担任人员引导、应急救助工作的人员，最后根据分步计算原理即可得答案.【详解】解：先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有种.故答案为：25216．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．【答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因为，所以，可得，因为，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案为：. 三、解答题17．设数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式；（2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果.【详解】（1）当时，，解得．当时，，则，即，从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，且当时，也满足，所以故．（2）由（1）可得，则，故．18．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量1020304050后天生长的优质数量237810 (1)求关于的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2)615 【分析】（1）求出、、、，代入公式计算可得答案；（2）将代入可得答案.【详解】（1），，，，则，，故关于的线性回归方程为；（2）将，代入，得到，则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为.19．如图，在四棱锥中，，，四边形ABCD是菱形，，E是棱PD上的动点，且．(1)证明：平面ABCD．(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【分析】（1）证明和，原题即得证；（2）取棱CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，求出平面ACE的法向量，解方程即得解.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以．因为，AC，平面PAC，且，所以平面PAC．因为平面PAC，所以．因为，所以，所以．因为AB，平面ABCD，且，所以平面ABCD．（2）取棱CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，，，故，，．因为，所以，则．设平面ACE的法向量为，则，令，得．平面PAB的一个法向量为．设平面PAB与平面ACE所成的锐二面角为，则，整理得，解得或（舍去）．故存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是．20．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程．(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是，1 【分析】（1）根据椭圆的对称性以及已知建立方程组求解.（2）利用直线与椭圆的方程联立以及韦达定理、斜率公式进行计算求解.【详解】（1）由椭圆的对称性可知，，在椭圆上．由题意可得解得故椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则不妨令，．因为，所以，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立整理得，则由，得，，．因为，，所以．综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1．21．已知函数.(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递减(2) 【分析】（1）当时，求得，利用导数符号与函数单调性的关系可得出函数的单调性；（2）对实数的取值进行分类讨论，在时，利用（1）中的结论验证即可；在或时，由可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，利用单调性可验证在上不恒成立，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，则．令，其中，则，则在上单调递减．故当时，，所以在上单调递减．（2）解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，此时，，则当时，，满足题意；由，化简可得，令，其中，则．当时，若，则，在上是减函数，所以当时，，不符合题意．当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．综上所述，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由代入可得答案；（2）令求出，再由可得答案.【详解】（1）由消去参数，得，即，由代入可得曲线的极坐标方程为. 令，则，故点的极坐标为；（2）令，则，故的面积.23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.【答案】(1)(2). 【分析】（1）把代入，分段讨论解不等式可得到结果；（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．【详解】（1）因为，所以，当时，原不等式转化为，无解.当时，原不等式转化为，解得. 当时，原不等式转化为，解得.综上所述，原不等式的解集为；（2）由已知可得，由不等式的解集非空，可得，则，解得，故的取值范围为.