2023届青海省部分名校高三下学期适应性检测数学（文）试题含解析

2023届青海省部分名校高三下学期适应性检测数学（文）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则计算即可.

【详解】因为，所以，即，则．

故选：D

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.

【详解】依题意，，，所以.

故选：C

3．已知平面向量，，且，则（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的数量积的坐标表示计算的值，再求模即可.

【详解】，则，所以．

故选：C

4．已知互相垂直的两个平面，交于直线，若直线满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为 ,且,可得选项B正确选项D错误，根据面面垂直可得选项AC错误.

【详解】因为，，所以，选项B正确，选项D错误；

又，所以或,A,C错误；

故选:B．

5．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4:1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（    ）

A．90 B．96 C．120 D．144

【答案】C

【分析】设参加体检的人数是，根据题意列出方程，求解即可.

【详解】解：设参加体检的人数是，

则，解得，

所以参加体检的人数是120人.

故选：C.

6．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.

【详解】由余弦定理可得：

由条件及正弦定理可得：

，

所以，则．

故选：A

7．已知实数满足约束条件，则的最大值是（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.

【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，（阴影部分），

解方程组 ，得，故，

解，可得，故，

表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,

根据的几何意义可知的最大值为2，，

故选：C

8．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.

【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．

因为在上单调递增，所以在上单调递减．

因为，所以，解得．

故选：A.

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式得到，两边平方得到的值，再根据诱导公式进一步运算得到结果.

【详解】因为，所以，

两边平方得，则，

故．

故选：C.

10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由三角函数的图象变换及诱导公式可得.再利用余弦函数的单调性即可.

【详解】，

令，，解得，，

故的单调递增区间为．

故选：D

11．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案.

【详解】因为球的体积为，所以球的半径为1，

又球与正三棱柱的所有面都相切，

所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，

设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,

设的中点为D，则在上，且,

又,则三棱柱外接球的半径为，

即外接球的表面积为,

故选：B

12．若函数的最小值为，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于与的最小值相同，故可知的最小值，由即可确定答案.

【详解】由题意知定义域为，

则，

由于的最小值为，则最小值也为m，

因为，故的最小值为，

故选：C

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用整体代换思想得出，明确与的最小值相同，从而由解决问题.

二、填空题

13．函数的图象在点处的切线的斜率为______．

【答案】5

【分析】求出函数的导数，将代入，可求得答案.

【详解】因为，所以,

即函数的图象在点处的切线的斜率为5，

故答案为：5

14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.

【答案】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，

设抛物线的标准方程为，则，解得.

故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

故答案为：

15．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从甲、乙等5名志愿者中任意选出2人开展应急救助工作，则甲、乙2人中恰有1人被选中的概率为______.

【答案】##0.6

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】解：记另外3人为，，，从这5人中任意选出2人，总事件包括（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），，，，共10种情况，

其中甲、乙2人中恰有1人被选中的事件包括（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），共6种情况，

故所求的概率为.

故答案为：

16．已知O是坐标原点，F是双曲线的左焦点，平面内一点M满足△OMF是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为______．

【答案】

【分析】根据等边三角形性质、余弦定理以可解得，进而根据双曲线的定义可求得，即可得到其离心率.

【详解】根据双曲线的对称性，不妨假设在第二象限，作出如下图形，

设双曲线的右焦点为，连接.

因为是等边三角形，所以，．

又，所以．

在中，由余弦定理知

，

则.

根据双曲线的定义有，则．

故答案为：.

三、解答题

17．设数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式；

（2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果.

【详解】（1）当时，，解得．

当时，，则，即，

从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，

且当时，也满足，

所以故．

（2）由（1）可得，则，

故

．

18．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：

(1)求关于的线性回归方程；

(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)615

【分析】（1）求出、、、，代入公式计算可得答案；

（2）将代入可得答案.

【详解】（1），，

，，

则，，

故关于的线性回归方程为；

（2）将，代入，得到，

则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为.

19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的一点，且．

(1)证明：平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理.

（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理以及等体积法进行求解.

【详解】（1）证明：记，连接，则是，的中点．

因为四边形是菱形，所以．

因为，且是的中点，所以．

因为，平面，且，

所以平面．

（2）

连接．因为，且是的中点，所以．

因为，，平面，且，所以平面．

因为，，所以，，所以，

故三棱锥的体积，

因为，所以．

过点作，垂足为，

由题中数据可得，，则．

因为平面，且平面，所以，

则的面积．

设点到平面的距离为，则，解得．

20．已知函数．

(1)若在上不单调，求实数的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导得，由在上不单调，可得关于的方程在上有根，由此即可得出答案；

（2）恒成立，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.

【详解】（1）因为，.

因为函数在上不单调，

所以关于的方程在上有根，

所以，所以，

即的取值范围是；

（2）因为，所以.

令，则．

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，即的取值范围是．

21．已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，1

【分析】（1）根据椭圆的对称性以及已知建立方程组求解.

（2）利用直线与椭圆的方程联立以及韦达定理、斜率公式进行计算求解.

【详解】（1）由椭圆的对称性可知，，在椭圆上．

由题意可得解得

故椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则不妨令，．

因为，所以，．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立整理得，

则由，得，，．

因为，，

所以

．

综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.

(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；

(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由代入可得答案；

（2）令求出，再由可得答案.

【详解】（1）由消去参数，得，即，

由代入可得

曲线的极坐标方程为.

令，则，故点的极坐标为；

（2）令，则，

故的面积.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）把代入，分段讨论解不等式可得到结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．

【详解】（1）因为，所以，

当时，原不等式转化为，无解.

当时，原不等式转化为，解得.

当时，原不等式转化为，解得.

综上所述，原不等式的解集为；

（2）由已知可得，

由不等式的解集非空，可得，

则，

解得，故的取值范围为.