2023届陕西省西安工业大学附属中学高三上学期第六次适应性考试数学（理）试题含解析

2023届陕西省西安工业大学附属中学高三上学期第六次适应性考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，，

故.

故选：B

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】z=a+bi对应的点为（a，b）

【详解】，所以z的共轭复数为，对应在复平面内的点为（2，1），在第一象限，

故选：A

3．“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义得到不等式组，解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.

【详解】方程表示椭圆，则所以且，

所以且能推出，反之不成立，所以为必要不充分条件，

故选：A.

4．已知x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．

【答案】A

【分析】作出不等式组所表示的平面区域，根据两点间的距离公式和结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.

【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

又由表示可行域内一点与定点间的距离，

结合图象可得，当可行域内取点时，此时距离最短，

由，解得，所以，

所以目标函数的最小值为.

故选：A.

5．已知双曲线经过点，且右焦点到其渐近线的距离为4，双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，求得，则离心率得解.

【详解】设双曲线右焦点，其中一条渐近线为，

由右焦点到其渐近线的距离为4，即，即；

又双曲线经过点，故，解得，

则，．

故选：．

6．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（    ）

A． B．32 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，

求出侧面的斜高为，然后利用梯形的面积公式即可求出侧面积，进而求解表面积.

【详解】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，

所以侧面的斜高为，则，

上下底底面面积分别为，

所以该四棱台的表面积为，

故选：.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.

【详解】因为，

所以,

故选：A.

8．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．

【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：

由抛物线的定义知，

故，

所以，

即，

解得或（舍去），

故M的横坐标为，

设直线，

将代入，

得，

则，

解得，

故直线l的方程为．

故选：C．

【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．

9．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】由正弦定理得：，

，

，，，，，

，解得：；

由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），，

.

故选：B.

10．已知随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用偶函数的定义结合正态密度曲线的对称性可求得的值.

【详解】因为函数为偶函数，则，即，

所以，.

故选：C.

11．已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．1是的一个周期

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.

【详解】的最小正周期为1，则，所以是以2周期的周期函数，因此，故B错误，

对于A,,故A错误，

对于C，由周期得，又，因此，故C正确，

对于D,，故D错误，

故选：C

12．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.

【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，

设关于直线对称的点为，则，解得，即，，

同理可得：

点关于直线的对称点为，

点关于直线的对称点为，

如图所示：

利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；

所以点之间为点的变动范围，

因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，

所以，即.

故选：D

二、填空题

13．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为____________．

【答案】40

【分析】根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1，可以求出中间一个小长方形的面积，即该组的频率，所以中间一组的频数＝140频率．

【详解】设中间一个小长方形面积为，其他8个长方形面积为，

根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1，

得，则，即中间一组的频率为，

所以中间一组的频数为．

故答案为：40.

14．某重点高中选派3名男教师和2名女教师去支教，将5人分配到3所学校每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为________种.

【答案】

【分析】根据每所学校的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】两名女教师分到同一所学校，

当学校的人数分组为时，其中3人组中2位女教师1位男教师，则方法数有种.

当学校的人数分组为时，其中2位女教师、2位男教师各成一组，则方法数有种.

所以共有种

故答案为：

15．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若P点坐标为，则 ___________.

【答案】

【分析】根据题意，作出两个函数的图象，利用对称性化简向量的和即可求解.

【详解】解：因为，所以关于中心对称，且，，最小正周期，

又也关于中心对称，且，

由题意，作出两个函数的图象如图所示，

则两个函数图象共有5个交点从左到右依次为、、、、，

根据对称性可知，和，和都关于中心对称，又P点坐标为，

所以，

所以.

故答案为：.

16．已知函数是定义域为的奇函数，当时，且，则不等式的解集为________.

【答案】

【分析】根据已知条件画出的大致图象，由此求得不等式的解集.

【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，，

当时，，即，

，

奇函数的图象关于原点对称，由此画出的大致图象如下图所示，

由图可知，不等式的解集为.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前项和为，且对任意的有.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：当时，，则；.

当时，由可得.

两式相减得，即，.

因为，则，，以此类推可知，对任意的，，

所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.

（2）解：由（1），故，则.

所以，

.

18．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.

（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.

【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为，；

（2）.

【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式即可求解；

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，报考乙大学通过的科目数为，求得随机变量的概率分布，分别求出与的期望，比较即可得解.

【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，

则；

该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，

报将乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.

，

，

，

，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，

所以的范围为：.

19．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．

(1)若，证明直线AG在平面AEF内；

(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，试确定的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）取BC的中点M，连接，则AM⊥AD，以为原点建立空间直角坐标系，表示出点的坐标和向量，求出平面AEF的法向量，验证与平面AEF的法向量的数量积是否为0，积得证

（2）设，表示出 ，根据直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，解方程求出即可

【详解】（1）（1）证明：取BC的中点M，连接，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系, 如图所示．

则，，，，， ，

设，因为，，．

所以，即，

，，

设平面AEF的法向量，则，所以

取，

所以，即．

又因为平面AEF，

所以直线AG在平面AEF内．

（2）（2）设，则  

则，

解得或，即或．

20．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；

（2）由题知，恒成立，进而令，，再根据，当且仅当时等号成立得，进而得即可得答案．

【详解】（1）函数的定义域为，，

当时，即时，在上恒成立，则在上单调递增，

当时，即时，令得，

所以当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）因为对，恒成立，即，恒成立，

所以，恒成立，

令，，

因为，，

设，则，

所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，

所以，即，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

令，则恒成立，

所以在上单调递增，

因为，，

所以方程在有解，即的等号能够取到；

所以，

所以要使，恒成立，则，即，

所以的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：小问（2）解题的关键在于借助，当且仅当时等号成立，放缩，进而得．

21．已知椭圆：，分别为椭圆的上下顶点，点为椭圆上异于点的任一点，若的最大值仅在点与点重合时取到，在下列三个条件中能满足要求的条件有____________.

条件①：过焦点且与长轴垂直的弦长为；

条件②：点与点不重合时，直线与的斜率之积为；

条件③：，分别是椭圆的左、右焦点，的最大值是120°.

(1)选出所有满足要求的条件，说明理由并求出此时的椭圆方程；

(2)若过原点作与平行的直线，与平行的直线，，的斜率存在且分别与椭圆交于四点，则四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）设，由题知，再依次分析三个条件，满足时取到最大值的情况即可得答案；

（2）设直线的斜率为，则由（1）知的斜率为，进而得直线，的方程，再与椭圆联立得，，再直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，进而得，最后计算面积即可.

【详解】（1）解：由题知椭圆焦点在轴上，，

因为点为椭圆上异于点的任一点，

所以，设，即，

所以，，

选条件①，过焦点且与长轴垂直的弦长为，

所以，令得，

所以，，解得，此时椭圆的方程为，

因为的最大值仅在点与点重合时取到，即时取到最大值，

显然，不满足点与点重合时取到最大值，

所以，条件①不满足；

选条件②，点与点不重合时，直线与的斜率之积为，

所以，，，、

所以，，此时椭圆的方程为，

因为的最大值仅在点与点重合时取到，即时取到最大值，

所以，，即时取到最大值，满足点与点重合时取到最大值，

所以，条件②满足，此时椭圆的方程为.

条件③，，分别是椭圆的左、右焦点，的最大值是120°，

因为的最大值是120°，

所以，，，椭圆的方程为，

因为的最大值仅在点与点重合时取到，即时取到最大值，

显然，不满足点与点重合时取到最大值，

所以，条件③不满足.

（2）解：因为，的斜率存在，平行的直线，与平行的直线，

所以，如图，不妨设直线的斜率为，则由（1）知的斜率为，

所以，直线的方程为，直线的方程，

所以，联立方程得，，故，

联立联立方程得，，故，

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，

所以，，，

所以，

所以，四边形的面积

，

所以，四边形的面积是为定值.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；

(2)若点，分别是曲线和上的点，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将参数方程转化为一般方程得到，设，则，代入计算可得答案.

（2）设，则，代入计算得到，得到答案.

【详解】（1），则，即，即，

设，则，即，即，

，故，即

（2）设，则，

则

23．已知函数．

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【分析】（Ⅰ）利用绝对值的性质，用分类讨论思想进行求解即可；

（Ⅱ）根据基本不等式，利用已知，求出代数式的最大值，最后利用绝对值的性质进行求解即可.

【详解】解：（Ⅰ）原不等式为，

当时，得，得，

所以．

当时，得成立，

所以，

当时，，

所以．

综上得不等式的解集为．

（Ⅱ）因为为正实数，并且

，当时取等号，

当时等号成立，

所以的最大值．

又因为，

当时取到等号，

要使恒成立，只需．

所以或．