2023年中考数学模拟卷二（重庆专用）

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 2023年中考数学模拟卷二（重庆专用）
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）
1．的相反数是（　　）
A．
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：∵﹣2＜0，
∴﹣2相反数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．下列疫情防控标识图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数I随时间t（单位：h）的变化情况，
则当I取得最大值时，对应的t的值大约为（　　）

A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
【分析】结合图象可得I最大时，对应的t的值约为12．
【详解】解：根据图象可以看出I最大时，对应的t的值约为12．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
4．如图，，平分交于点E，若，则（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5．如图，与位似，点O为位似中心，，若的周长是
5，则的周长是（　　）

A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长：的周长＝1：3，
∵的周长是5，
∴的周长是15，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
6．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】利用矩形的性质、三角形的外角的性质、平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
7．估算的值应在（　　）
A．2到3之间
B．3到4之间
C．4到5之间
D．5到6之间
【答案】A
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出的范围，再求出的范围，最后求出答案即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴估算的值应在2到3之间，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
8．由于今年重庆受到洪水袭击，造成南滨路水电站损害，重庆市政府决定对南滨路水
电站水库进行加固．现有5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板
车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车
每次能运y吨货，则可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，是的直径，B是劣弧的中点，和相交于点E，，
，则的长为（　　）

A．4
B．6
C．
D．8
【答案】B
【分析】连接，求出，根据求出和，根据垂径定理求出，，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，

∵直径，
∴，
∵，
∴，，
∵是的直径，B是劣弧的中点，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．
10．在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推．
①第二次操作后，从左往右第四个整式为：；
②经过6次操作后，将得到65个整式；
③第10次操作后，从左往右第2个整式为：；
④经过4次操作后，若，则所有整式的值之和为85，
以上四个结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D． 4
【答案】D
【分析】按题意，依次验证四个结论即可．
【详解】解：第一次操作后，有三个整式，分别为：，，，第二次操作后，有五个整式，分别为：，，，，，故①正确；
第一次操作后，有3个整式，第二次操作后，有5个整式，第三次操作后，有9个整式，第四次操作后，有17个整式，第五次操作后，有33个整式，第六次操作后，有65个整式，故②正确；
第1次操作后，从左往右第2个整式为：，
第2次操作后，从左往右第2个整式为：，
第3次操作后，从左往右第2个整式为：，
故第10次操作后，从左往右第2个整式为：，故③正确；
若，则第1次操作后，3个数分别为：2，5，8，第4次操作后，所有数值之和为：
故④正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了整式加法运算，代数式求值以及规律探究，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在每题对应的横线上．
11．习近平总书记在党的二十大报告中讲到，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一
亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对
贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献．将9600000用科学记数法表示
为　 　．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：将9600000用科学记数法表示为．
故答案为：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．　 　．
【答案】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
13．当x　 　时，有意义．
【答案】且
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14．现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全
相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，洗均匀后再随机抽取
一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则反比例函数的图象在
一、三象限的概率是　 　．
【答案】
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后根据反比例函数的性质，即可求得反比例函数的图象在一、三象限的概率．
【详解】解：树状图如下，

由上可得，一共有16种可能性，其中反比例函数的图象在一、三象限的可能性有10种，
故反比例函数的图象在一、三象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
15．如图，矩形中，以C为圆心，的长为半径画圆，交于点E，再以B
为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴
影部分的面积为　 　．

【答案】8
【分析】连接，根据阴影部分的面积＝的面积+扇形的面积﹣扇形的面积解答即可．
【详解】解：如图，连接，

则阴影部分的面积＝的面积+扇形的面积﹣扇形的面积，
∵矩形，，，
∴，
∵以C为圆心，的长为半径画圆，交于点E，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键．
16．如图，正方形的边长为5，点在边上，，连接，将沿翻折得，延长交于点，则的长度为　 　．

【答案】
【分析】设，则，，从而求得，由，，得，，，最后求得的值．
【详解】解：连接，
∵沿折叠得到，正方形，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∴．
∵在中，
∴，
∴，
解得，．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠问题中的线段长度计算，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
17．若关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组
无解，则所有满足条件的整数a的值之积是　 　．
【答案】2
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【详解】解：将分式方程去分母得：

解得：，
∵解为负数，
∴，
∴，
∵当时，；时，，此时分式的分母为0，
∴，且；
将不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴a的取值范围为：，且，
∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
18．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记．例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以，若s，t都是
“镜面数”，其中，
，其中x，y，e，f都是正整数，规定：，当时，k的最大值为　 ．
【答案】
【分析】，，由题意得，，由，化简得，同理可得，，由，可得当，时，k有最大值．
【详解】解：，，
由题意得，，
∵，化简得：，
∴，
同理，，
∵，化简得：，
∴，
∵，
∴．
，
当，时，k有最大值．
【点睛】本题考查了分式化简，正确理解题意，表达相关数学概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【详解】解：（1）

；
（2）


．
【点睛】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．如图，在平行四边形中，连接对角线，平分分别交、
于点E、F．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点H，交的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形
∴，①　 　，
∴．
∵平分，平分，
∴②　 　，．
∵四边形为平行四边形，
∴③　 　，
∴，
在和中，
∴，
∴．

【答案】见解析
【分析】（1）根据角平分线的作法即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可完成填空．
【详解】（1）解：如图，即为的角平分线；

（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：①，②，③，④．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、
女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分
为五组：A.0≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100；其中
x≥80记为优秀），相关数据统计、整理如下：
男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．
男、女生被抽取的竞赛成绩统计表：
性别
男生
女生
平均数
76
76
中位数
76
a
众数
b
87
优秀率
40%
m%
女生被抽取的学生竞赛成绩扇形统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？
【答案】（1）77，86，40；（2）见解析；（3）1200人
【分析】（1）找出女生被抽取的学生竞赛成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出a的值，找出男生成绩出现次数最多的数即为男生成绩的众数b，根据女生在D组和E组的百分比，可得女生的优秀率，即可得m的值；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）总数乘以男、女生竞赛成绩的优秀率即可．
【详解】解：（1）女生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），
因此中位数是77分，即，
男生竞赛成绩出现最多的是86，
因此男生竞赛成绩的众数86，即；
，
故答案为：77，86，40；
（2）女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异，
理由为：女生本届数学趣味知识竞赛成绩的中位数为77分，高于男生成绩的中位数；
（3）（人），
答：估计该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人．
【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
22．回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在春节来临之际，置办年货当
然也是每个家庭必需要做的事情．某商家看准商机，购进A，B两种春节大礼包进行销
售，已知一个B礼包比A礼包的进价多30元，其中购买A礼包花费4000元，购买B
礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．
（1）求一个A礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的A，B两种礼包共80
个，但A礼包的进价比第一次购买时提高了16%，而B礼包的进价在第一次购买时进
价的基础上打9折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，那么此次最多可
购买多少个B礼包？
【答案】（1）一个A礼包的进价为50元，一个B礼包的进价为80元；（2）最多可购买11个B礼包
【分析】（1）设一个A礼包的进价为x元，则一个B礼包的进价元，由题意：购买A礼包花费4000元，购买B礼包花费3200元，且购买A礼包的数量是购买B礼包数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设此次可购买m个B礼包，则可购买个A礼包，由题意：商家此次两种礼包的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设一个A礼包的进价为x元，则一个B礼包的进价元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：一个A礼包的进价为50元，一个B礼包的进价为80元；
（2）设此次可购买m个B礼包，则可购买个A礼包，
由题意得：，
解得：，
∵m是整数，
∴m的最大值为11，
答：此次最多可购买11个B礼包．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图，一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北
偏西方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东方向．
（1）求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）
（2）此时渔船发现在A点北偏西方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：，，）．

【答案】（1）；（2）41.0海里/时
【分析】（1）根据题意可得：海里，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
（2）过点A作，垂足为E，根据垂直定义可得，根据题意可得：，，从而利用平行线的性质可得，进而可得，然后再利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：
（海里），，，
∴，
在中，（海里），
∴此时渔船与补给站C的距离为海里；
（2）如图：过点A作，垂足为E，

∴，
由题意得：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，海里，
∴（海里），
（海里），
在中，（海里），
∴（海里），
∴海里，
∴（小时），
∴补给船的速度（海里/时），
∴补给船的速度约为41.0海里/时．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图1，是等腰直角三角形，，，点P在的边
上沿路径B→A→C移动，过点P作于点D，设，的面积
为（当点P与点B或点C重合时，y的值为0）．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是　 　；
（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0

1

2

3

4
y/cm2
0

m

2


n
0
请直接写出m＝　 　，n＝　 　；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为1cm2时，的长度约为
　 cm．（数值保留一位小数）
【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4）1.4或3.4
【分析】（1）由于点D在线段上运动，则x范围可知；
（2）根据题意得画图测量可得对应数据；
（3）根据已知数据描点连线画图即可；
（4）当的面积为1cm2时，相对于，则求两个函数图象交点即可．
【详解】解：（1）由点D的运动路径可知的取值范围
故答案为：
（2）通过取点、画图、测量，可得，；
故答案为：，
（3）根据已知数据画出图象如图

（4）当的面积为1cm2时，对应的x相对于直线与（3）中图象交点得横坐标，画图测量即可
故答案为：1.4或3.4
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象画法以及数形结合的数学思想．解答关键是按照题意画图、取点、测量以得到准确数据．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，
与y轴交于C点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线上方抛物线上的任意一点，过P作交直线于D，作轴交直线于E，求的最大值，并求此时P的坐标；
（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

【答案】（1）；（2）的最大值为，此时；
（3），，
【分析】（1）用待定系数法即可得抛物线的函数表达式；
（2）过点P作轴交于Q，过A作交y轴于H，证明，，根据相似三角形的性质得，，则，求出直线的解析式为，设，则，则，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意得平移后抛物线解析式为，，对称轴为直线，设，，分三种情况根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：（1）把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，过点P作轴交于Q，过A作交y轴于H，

∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵与x轴分别交于A，B两点，，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，有最大值
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，开口向下
∴当时，取得最大值1，此时，
∴的最大值为，此时；
（3）由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∵抛物线的对称轴为直，
∴设，，
分情况讨论：
①当设为对角线时，则，
解得：，
∴；
②当为对角线时，，
解得：，
∴；
③当为对角线时，，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为：，，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
26．在等腰直角中，，D是线段上一点，延长至点E，使
得，过点E作于点G，交于点F．
（1）如图1，连接，若平分，，求的长；
（2）如图2，H是平面内一点，连接、，平分，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，，，点M为平面内一点，连接、，满足，当最小时，将沿着翻折到同一平面内得，过点E作，交直线于点K，直接写出线段的长度．


【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1，过点D作于Q，利用角平分线性质和等腰直角三角形性质即可求得答案；
（2）连接，过点F作于M，证，；
（3）如图3，以AD为直径作⊙O，当BM最小时，点M为线段OB与⊙O的交点，如图4，连接OB交⊙O于M，作点M关于BD的对称点M′，连接MM′交BD于L，过点O作OP⊥BC于P，运用勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，过点D作于Q，

∵，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）；理由如下：
如图2，连接，过点F作于M，
M

∵，，
∴，，，
∵平分，，
∴，，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）由（2）知，
如图3，以为直径作，
∵，
∴，

∴点M在上，
∴当最小时，点M为线段与的交点，
如图4，连接交于M，作点M关于的对称点，连接交于L，过点O作于P，

则，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵M与关于对称，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，与圆有关的最值问题，添加辅助线构造辅助圆是解题关键．