2023年中考数学模拟卷六（重庆专用）

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 2023年中考数学模拟卷六（重庆专用）
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）
1．下列所给出的点中，在第二象限的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、在第一象限，故本选项不合题意；
B、在第四象限，故本选项不合题意；
C、在第三象限，故本选项不合题意；
D、在第二象限，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2．近年来我国志愿服务发展达到一个新的里程碑高点，据中国慈善发展报告（2022）
指出：我国志愿者总量已达到270000000人，数字270000000用科学记数法表示是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．已知一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数是（　　）
A．12
B．10
C．9
D．8
【答案】A
【分析】利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．
【详解】解：，所以这个正多边形是正十二边形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟知多边形的外角和是是解题的关键．
4．如图，，，，则的度数是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据和的度数先判断两直线平行，然后根据平行线的性质求出的度数即可．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
5．若有意义，则x取值范围是（　　）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质得出答案．
【详解】解：若有意义，
则且，
解得：且．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题关键．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以A为位似
中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的
坐标为（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据位似比得到，根据线段中点的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵以A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，
∴，
∴点C是线段的中点，
∵，，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似比的概念是解题的关键．
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】分别根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，符合题意；
B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；
C、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是命题与定理，正确把握矩形、菱形、正方形以及平行四边形的区别是解题关键．
8．某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13
个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　）

A．22
B．25
C．28
D．32
【答案】B
【分析】根据已知图形得出第n个图中●的个数为，据此可得．
【详解】解：∵图①中●的个数为10，
图②中●的个数为13＝10+3＝10+3×1，
图③中●的个数为16＝10+3+3＝10+3×2，
…
∴第n个图中●的个数为：，
∴第⑥个图中●的个数为：3×6+7＝25．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．
9．如图，半圆O的直径，两弦、相交于点E，弦，则
等于（　　）度

A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】B
【分析】连接、、，可得为等边三角形，则，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接、、，

∵半圆O的直径，
∴半圆O的半径为5，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法：
①；
②；
③；
④的最小值为，此时；
⑤的个位数字为6．
其中正确的说法有（　　）个
A．2
B．3
C．4
D． 5
【答案】A
【分析】由题意探究得，再根据每种说法，依次进行判断即可．
【详解】解：
①∵，
∴①的说法错误；
②∵，
又∵

，
∴，
∴②的说法正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴③的说法正确；
④∵，
∴，
∵n为正整数，
∴当或12时，有最小值，
∴④的说法错误；
⑤∵，，，，，，，，，，……，
由此可知，，
∴的个位数字为8，
∴⑤的说法错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，二次函数的概念及性质，探索规律，综合运用相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在每题对应的横线上．
11．计算：　 　．
【答案】3
【分析】利用零指数幂，算术平方根计算．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂，算术平方根的概念．
12．每年的双十一是消费者、商家以及平台三方之间共同创造纪录的时刻，2020年天
猫的双十成交额继续领跑全网，达到268400000000，把268400000000科学记数法表示
为　 　．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：268400000000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．已知x、y是实数，且，求＝　 　．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：且，
∴，
∴，
∴原式
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
14．在桌面上放有四张完全一样的卡片，正面分别标有数字，0，1，2．把四张卡片
背面朝上，随机抽取一张，将数字记为m后放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字
记为n，则点刚好落在坐标轴上的概率为 　 　．
【答案】
【分析】画树状图可知，共有16种等可能的结果，其中所选的刚好落在坐标轴上的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

所有的等可能情况共有16种，即，，，，，，，，，，，，，，，，其中所选的刚好落在坐标轴上的结果有7种，
故点刚好落在坐标轴上的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率以及点的坐标特征．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，
与对角线交于点E，与交于点F，过点E作，交于点H，则阴
影部分的面积为 　 　（结果保留）．

【答案】
【分析】根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：在矩形中，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求解特殊图形的面积的知识，掌握扇形的面积公式，解直角三角形是解答本题的关键．
16．如图，在正方形中，点E在对角线上，，连接，于点E，交于点F，连接，，已知，则的面积为　 　．

【答案】12
【分析】过点E作交于点G，交于点H，由正方形，，，得，，，，证，，证得，从而求得的面积．
【详解】解：如图，过点E作交于点G，交于点H，
∵正方形， ，
∴，
∴，．
∵正方形，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵在正方形中，点E在对角线上，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，

故答案为：12
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关几何性质是解题的关键．
17．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程
有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为　 ．
【答案】11
【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题．
【详解】解：解不等式，得．
解不等式，得．
∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵关于y的分式方程有正整数解，
∴且或或．
∴或（当，此时是增根，故舍去）或或．
综上：或7．
∴满足条件的整数a和为．
故答案为：11
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组以及分式方程的解法是解决本题的关键．
18．若一个四位数M的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对
值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数M为“差2数”．若
一个四位数N的各个数位数字成比例，则这个四位数N为“成比例数”，例如：，
∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，∴1362为“成比例
数”．若一个四位数Q既是“差2数”，又是“成比例数”，则满足条件的Q的最大值
为　 ．
【答案】5533
【分析】设，由Q是“差2数”，得；由Q是“差2数”，Q是“成比例数”，可得Q=3355，3553，5335，5533，从而得到满足条件的Q的最大值为5533．
【详解】解：设，
∵Q是“差2数”，
∴，即，
．
∵Q是“差2数”，
∴，，
∴，即，
∵，
∴或6或8或10或12或14或16，
∴或或或或或或，
∵Q是“成比例数”，
∴Q=3355，3553，5335，5533，
∴Q的最大值5533．
【点睛】本题考查了数字问题，不定方程及不绝对值的性质，综合运用题设条件进行数值分析是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据整式乘除法的运算法则计算即可；
（2）根据异分母分式加减法的法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了整式乘除法以及分式的加减，解题的关键是掌握相关的运算法则并灵活运用．
20．如图，在平行四边形中，点E在对角线上，连接．
（1）用尺规完成以下基本作图：作，使，与对角线交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，　 　①　 　，
∴　 　②　 　，
在与中，
∵，
∴，
∴，　 　③　 　，
∴，
即，
∴　 　④　 　，
∴四边形为平行四边形．

【答案】见解析
【分析】（1）以B点为圆心长为半径画弧，交于点F，连接，则即为所求；
（2）根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等即可证明．
【详解】解：（1）如图，以B点为圆心长为半径画弧，交于点F，连接，则即为所求；再连接，，

（2）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题关键．
21．为落实“双减”工作，某校举办多种形式的文艺社团活动，其中最受学生喜欢的文
艺社团分别是：A演讲、B音乐、C书法、D绘画，但因学校一些条件的限制，要求每
位同学必须参加且限报一项．现以七（1）班参加人数进行统计，并将统计结果绘制成
如下两幅不完整的统计图，请你结合图中所给出的信息解答下列问题：
（1）计算七（1）班的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）求出扇形统计图中参加书法社团的学生所在的扇形圆心角的度数．

【答案】（1）40人；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据B所占的百分比以及B的人数即可即可求出七（1）班的学生人数；
（2）先用总人数乘以A所占百分比，得到A的人数，再用总人数分别减去A、B、D的人数，得到C的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）用乘C所占比例即可计算出参加书法社团的学生所在的扇形圆心角的度数．
【详解】解：（1）七（1）班的学生人数为：（人）；
（2）参加A演讲人数为：（人），
参加C书法人数为：（人），
补全条形统计图如下：

（3）扇形统计图中参加书法社团的学生所在的扇形圆心角的度数：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，
沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走A路线，全程2400千米，乙队走B路线，全程
3200千米，由于B路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样
乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
（2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划
有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有a个人加入队伍，经过计算，甲队
实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的
人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求a的值．
【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地；（2）a的值为5
【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，利用速度＝路程÷时间，结合乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目的地的时间，再将其代入中，即可求出甲队计划到达目的地的时间；
（2）根据两队共需花费18720元，可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴．
答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：a的值为5．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．某校数学兴趣小组欲利用无人机测量汉丰湖的宽度（假设湖的宽度相等），如
图所示，一架水平飞行的无人机在湖面所在水平线的正上方C点处，此时在C处测得
正前方湖的右岸A处的俯角为α，无人机沿水平线方向继续飞行90米至D处，测
得正前方湖的左岸B处的俯角为．点H，A，B在同一水平地面上，，且
米．
（1）求无人机的飞行高度．（结果保留根号）
（2）求汉丰湖的宽度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，）

【答案】（1）米；（2）350米
【分析】（1）根据题意可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可；
（2）过点B作，垂足为M，根据题意可得米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：，，
∴，，
在中，，米，
∴（米），
∴无人机的飞行高度为米．
（2）过点B作，垂足为M，

∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（米）．
∴汉丰湖的宽度AB约为350米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行线的性质等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．如图，在边长为4cm的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线A﹣B﹣C运动，到达C点就停止．过P点作射线．设P点运动路程为x（cm），射线扫过正方形内部的面积为y（cm2）．

（1）分别就P点在边、边上运动时，求出y与x的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）写出该函数图象的一条性质．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据三角形面积公式分别求P点在边、边上运动时y与x的函数关系式；
（2）根据函数解析式画出函数的图象即可；
（3）根据函数图象写出相应函数图象性质即可．
【详解】解：（1）当点P在边时，，
∴y与x的函数关系式（）；
当点P在边时，，
∴y与x的函数关系式为（），
综上，y与x的函数关系式为；
（2）图象如图所示：

（3）当时，函数取得最小值0；当时，函数取得最大值12
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，关键是求出函数图象．
25．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于C．
（1）求的面积；
（2）如图2所示，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点E，过点P作直线交x轴于点F，请求出的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移个单位，得到新抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点B、C、M、N为顶点的菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程．

【答案】（1）12；（2）的最大值，此时点P的坐标为；（3）或或
【分析】（1）由的面积＝，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当是菱形的对角线时，由中点坐标公式和列出函数表达式即可求解；当或是菱形的对角线时，同理可解．
【详解】解：（1）对于，令，解得：或，
令，则，
即点A、B、C的坐标分别为、、，
则的面积＝，
即的面积为12；
（2）延长交x轴于点H，
设直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
则直线的表达式为：，
设点，则点，
∵，则，
又∵，
∴，
在中，，则，
∴，
∵，故有最大值，
当时，其最大值为：，
此时，点；
（3）函数的对称轴为，该函数向左平移个单位，得到新抛物线，则此时新函数的对称轴为，
故设点，设点，
而点B、C的坐标分别为、，
则，，，
①当是菱形的对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：；
即点N的坐标为；
②当是菱形的对角线时，由中点坐标公式和得：
，该方程组无解；
③当是菱形的对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：或，
即点N的坐标为或；
综上，点N的坐标为：或或．

【点睛】本题考查二次函数综合运用，主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，菱形的性质等，分类讨论是解题的关键．
26．在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边．
（1）如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积；
（2）如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：；
（3）如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值．






【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得；（2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得；（3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析．
【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N，

∴是等边三角形，，
∴．
∵在直角中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故．
（2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，，

在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，

∵，平分，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，，，
∴，
∵，，，
过点A作于点Q，
∴，，
∴，．
对于，，
∵，
∴当有最小值时，即最小，
∵，
∴最小，也即最小．
∵，
∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时，
∵，，
∴，
即当是等边三角形时，的面积最小，为．
此时，由图形对称性可得，，
故的面积最小值为．
【点睛】本题考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键．