2023届北京市大兴区高三下学期数学摸底检测试题含解析

这是一份2023届北京市大兴区高三下学期数学摸底检测试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市大兴区高三下学期数学摸底检测试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定集合中元素，再由补集定义得结论．
【详解】由已知，所以．
故选：D．
2．若复数z满足，则（    ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．

3．若为任意角，则满足的一个值为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由，可知，从而可得到的关系式，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为，所以，即，所以可以为8.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
4．在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.
【详解】若父母均为单眼皮， 则父母的基因一定为和， 孩子就一定是单眼皮．
若孩子为单眼皮， 则父母的基因可能是和，即父母均为双眼皮，
故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．
故选：A
5．已知三个函数y=x3，y=3x，，则
A．定义域都为R B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数 D．都是奇函数
【答案】C
【分析】根据各选项性质对每个函数进行判断，
【详解】函数的定义域为（0，+∞），即A错误；
函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；
函数y=3x和是非奇非偶函数，即D错误，
三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确．
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，掌握三个基本初等函数的性质是解题基础．
6．双曲线C：x21的渐近线与直线x=1交于A，B两点，且|AB|=4，那么双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先求出双曲线的渐近线的方程，将直线x=1与渐近线方程联立求出|AB|=|2b|，从而求出，再利用离心率即可求解.
【详解】由双曲线的方程可得a=1，且渐近线的方程为：y=±bx，
与x=1联立可得y=±b，所以|AB|=|2b|，
由题意可得4=2|b|，解得|b|=2，c2=a2+b2，
所以双曲线的离心率e，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
7．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解．
【详解】等比数列中，公比；由，所以，又，所以解得或；
若时，可得，可得的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，所以不会存在使得的乘积最大(舍去)；
若时，可得，可得的值为，…，
可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，前项均为正数且大于等于，
所以存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能值是.
故选：A.
8．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）
题号学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m

A．35 B．30 C．25 D．20
【答案】B
【解析】通过分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情况，推理得出这8道判断的答案，从而可得结果.
【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，
又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，
故其余6题答案均正确，
故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，
对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m＝6×5＝30，
故选：B.
9．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】要满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，而且点P在函数y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【详解】过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行
y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1
∴P（0，1），
于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，
∴，解得a＝﹣1或a＝3
又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；
故a＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.
10．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解.
【详解】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图：

因为正方体的棱长为2，
所以,，，平面，平面，平面，
所以，，，
所以，，
所以，，
由可得平面，
所以，所以点的轨迹为线段，
又,
所以面积的最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题.

二、填空题
11．在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）
【答案】15
【分析】由二项式展开式通项有，可知常数项的值；
【详解】二项展开式通项为，
∴当时，常数项，
故答案为：15
【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；
12．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.
【答案】（答案不唯一）.
【解析】由题意可得满足或者即可，取满足上述条件的的值即可（答案不唯一）.
【详解】若方程1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则，或者，则可取（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.
13．在中，，，，则的面积为________．
【答案】6
【分析】根据同角的三角函数关系求得，，再根据两角和的正弦公式求得,利用三角形面积公式即可求得答案,
【详解】在中，，，，且,
故，，
由正弦定理可得，
又，
而，
故的面积为，
故答案为：6

三、双空题
14．如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的最小值为_________.

【答案】         
【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，

则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），
（1）＝；
（2）当点P在BC上时，＝2；
当点P在AD上时，设P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；
当点P在CD上时，设点P（，1）（0＜＜2）
＝（2,0）（－1，1）＝2－2，
因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即
综上可知，的最小值为－2.
故答案为-2.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

四、填空题
15．曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；
③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．
其中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②
【解析】①根据对称性的特点，用﹣x代替x，代入曲线C中，若等式依然成立，则关于y轴对称；
②列出不等式，3，解之即可得横坐标的取值范围；
③采用分析法，|yP|，要使△PAB的面积大于，则，即，再列出不等式，而3，解出y的取值范围，即可进行判断．
【详解】解：①用﹣x代替x，有3成立，即①正确；
②∵y2≥0，
∴3，
故（x2﹣1）2≤9，即﹣3≤x2﹣1≤3，即﹣2≤x2≤4，解得﹣2≤x≤2，即②正确；
③，若存在点P，使△PAB的面积大于，则，即．
∵3，
∴y2≤2，故不存在点P符合题意，即③错误．
故答案为：①②．
【点睛】此题考查曲线与方程的关系，考查点与曲线的位置关系，属于中档题

五、解答题
16．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为.
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)，理由见解析
(2)

【分析】（1）由可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求解；
（2）运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.
【详解】（1）依题意，
若函数满足条件②，则，
这与矛盾，所以不能满足条件②，
所以应满足条件①③④
由条件④得，且，所以，
由条件③得，
再由条件①得，
且， 所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的单调递减区间为.
17．如图，四边形为正方形，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【分析】（1）推导出，，由此能证明平面.
（2）推导出，..建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】证明：（Ⅰ）因为，，所以，
因为，，
所以平面.
（Ⅱ）解：因为平面，平面，平面，
所以，.
因为四边形为正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，即
令，则，.于是.
平面的法向量为.
设直线与平面所成的角为，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查证明线面垂直和线面角，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.
18．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
X
0
1
2
P




.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.
19．已知椭圆的焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，.求证：以为直径的圆恒过点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）易知椭圆中，结合，可求出椭圆的方程；
（2）结合由（1），可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，设，，可表示出直线的方程，进而得到点的坐标，同理可得点的坐标，然后得到的表达式，结合韦达定理可证明，即，即以为直径的圆恒过点.
【详解】（1）由题意，椭圆中，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，可得，
显然恒成立，
设，，则，
易知直线的斜率存在，，则直线的方程为，
所以，即，同理可得，
则，
所以，
所以，即以为直径的圆恒过点.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查圆过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于难题.
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)
【答案】（1）；（2）；（3）2
【解析】（1）当时，，，求出，，结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；
（2），由在区间上单调递增，可知在恒成立，进而可知在恒成立，构造函数，求出在上的最小值，令即可；
（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由题意，，
因为在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，
所以在上最小值为，
所以.
（3）当时，方程根的个数为2.
证明如下：
当时，，构造函数，
则，显然在上单调递增，
因为，，所以存在唯一零点，设为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，所以在上存在唯一零点
又因为，所以在上存在唯一零点，
故函数有2个零点，即方程根的个数为2.
【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查方程的根与函数的零点，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
21．设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.
【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质