高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词当堂达标检测题

第一章集合与常用逻辑用语

1.5全称量词与存在量词

例1判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数①都是奇数；

（2），；

（3）对任意一个无理数x，也是无理数.

分析：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.②

①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.

②这个方法就是“举反例”.

解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.

（2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题.

（3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题.

例2判断下列存在量词命题的真假：

（1）有一个实数x，使；

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

（3）有些平行四边形是菱形.

分析：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.

解：（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题

（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.

例3写出下列全称量词命题的否定：

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）对任意，的个位数字不等于3.

解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.

（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.

例4写出下列存在量词命题的否定：

（1），；

（2）有的三角形是等边三角形；

（3）有一个偶数是素数

解：（1）该命题的否定：，.

（2）该命题否定：所有的三角形都不是等边三角形.

（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.

例5写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）任意两个等边三角形都相似；

（2），

解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.

（2）该命题的否定：，.因为对任意，，

所以这是一个真命题.

1.5.1全称量词与存在量词

练习

1. 判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题

【解析】

【分析】

对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）真命题.

连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，

而一个三角形的内角和180°，

所以四边形的内角和都是360°是真命题；

（2）假命题.

因为负数没有算术平方根，

所以任何实数都有算术平方根是假命题；

（3）假命题，

因为是无理数，是有理数，

所以是无理数}，是无理数是假命题.

【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.

2. 判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题

【解析】

【分析】

对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.

【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；

（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；

（3）真命题，因为是无理数，是无理数.

【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

练习

3. 写出下列命题的否定：（1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.

【答案】（1），；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.

【解析】

【分析】

根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.

【详解】（1）该命题的否定：，；

（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；

（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.

【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.

4. 写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.

【答案】（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.

【解析】

【分析】

根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.

【详解】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形；

（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；

（3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数.

【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.

习题1.5

复习巩固

5. 判断下列全称量词命题的真假:

(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;

(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

(3)对任意负数的平方是正数;

(4)梯形的对角线相等

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【解析】

【分析】

(1)根据整数的知识判断即可.

(2)根据平面几何的知识判断即可.

(3)根据平方的性质判断即可.

(4)举出反例判断即可.

【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.

(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.

(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题

(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.

6. 判断下列存在量词命题的真假:

(1)有些实数是无限不循环小数;

(2)存在一个三角形不是等腰三角形;

(3)有些菱形是正方形;

(4)至少有一个整数是4的倍数.

【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.

【解析】

【分析】

(1)根据实数的定义分析即可.

(2)根据等腰三角形的定义分析即可.

(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.

(4)利用反证法证明是假命题即可.

【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如等.故为真命题.

(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.

(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.

(4)假设有一个整数是4的倍数,则因为能被4整除,故为偶数,故为奇数,故为奇数.设,则,故除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数使得是4的倍数.故为假命题.

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.

7. 写出下列命题的否定:

(1);

(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;

(3);

(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.

【答案】(1);

(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;

(3);

(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.

【解析】

【分析】

(1)根据全称命题的否定写出即可.

(2)根据全称命题的否定写出即可.

(3)根据特称命题的否定写出即可.

(4) 根据特称命题的否定写出即可.

【详解】(1)“”为全称命题,故否定为：“”;

(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称命题,

故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”

(3)“”为特称命题,故否定为：“”;

(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为特称命题,

故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”

【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.

综合运用

8. 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:

(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;

(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;

(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;

(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.

【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;

(2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;

(3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°;

(4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上,

【解析】

【分析】

(1)举出反例即可判定.且原命题为全称命题,故其否定为特称命题.

(2)根据二次函数图像性质可以判定. 且原命题为全称命题, 故其否定为特称命题.

(3)根据三角形性质判定.且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题.

(4)举出对应的反例即可. 且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题.

【详解】(1)举出反例：函数与x轴不相交.故原命题为假命题.

命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交;

(2)因为二次函数均有对称轴, 故原命题为真命题.

命题的否定: 存在一个二次函数的图象不是轴对称图形;

(3)因为三角形内角和为180°.故原命题为假命题.

命题的否定: 任意一个三角形,它的内角和不小于180°;

(4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在同一个圆上.故原命题为真命题.

命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上.

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及全称命题与特称命题的否定,属于基础题型.

9. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:

(1)平行四边形的对角线互相平分;

(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;

(3)三角形不都是中心对称图形;

(4)一元二次方程不总有实数根.

【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;

(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;

(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;

(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.

【解析】

【分析】

(1)原命题为全称命题,否定为特称命题.

(2)原命题为全称命题,否定为特称命题.

(3)原命题为特称命题,否定为全称命题.

(4)原命题为特称命题,否定为全称命题.

【详解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;

它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;

(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;

它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;

(3)存在一个三角形不是中心对称图形;

它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;

(4)存在一个一元二次方程没有实数根;

它的否定:任意一元二次方程都有实数根.

【点睛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型.

拓广探索

10. 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如:

①若,则;(假命题)

②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题)

这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.

(1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.

(2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假.

【答案】(1)不对,见解析(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可.

(2)根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可.

【详解】解: (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等.

(2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题.

命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题.

【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型.