2023届广东省汕头市高三第一次模拟数学试题含解析

这是一份2023届广东省汕头市高三第一次模拟数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省汕头市高三第一次模拟数学试题 一、单选题1．设全集，集合则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先求出集合A，再根据补集定义即可求出.【详解】，或，.故选：C.2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，设其中的两个复数的积，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘法运算可求得的值，即可得答案.【详解】由，故，则，故选：D3．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（    ）（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．1580【答案】C【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考公式及等差数列前项和公式即可求解.【详解】因为“三角形数”可以写为所以第层“三角形数”为，所以层时，垛球的总个数为：，所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为.故选：C.4．已知向量，，．若，则实数（    ）A． B．－3 C． D．3【答案】B【分析】直接根据夹角的坐标运算列方程求解即可.【详解】，，,，解得.故选：B．5．现将六个字母排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（    ）种．A．192 B．240 C．120 D．28【答案】A【分析】先求出相邻时排列种数，再求出相邻，且在中间时排列种数，两种情况相减即可.【详解】当相邻时，不同的排列方式有种，当相邻，且在中间时，不同的排列方式有种，则要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有种.故选：A.6．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）A．6 B．12 C． D．【答案】D【分析】设，先得到的值，再代入的余弦定理计算可得，再利用三角形的面积公式计算即可.【详解】对于椭圆有，设，则根据椭圆的定义得，又，解得，.故选：D.7．已知，，，则下列判断正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数同角的三角函数关系以及二倍角公式和两角和的正切公式化简可得，结合正切函数单调性，可推得，即可判断答案.【详解】由，，，可得，即，由于，，则，故，由于在上单调递增，故，即，所以，故A正确，B错误，由于得，则不可能成立，C错误，由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误，故选：A8．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.【详解】对A：∵为偶函数，则两边求导可得∴为奇函数，则令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，则可得两式相加可得：，∴关于点成中心对称则，D成立又∵，则可得，则可得∴以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立故选：C.【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算. 二、多选题9．如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（    ）A．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到【答案】BC【分析】首先求出函数的周期，再根据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；因为，所以，所以，因为所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；令，，解得，，所以函数的对称中心为，，故C正确；将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；故选：BC10．已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（    ）A．与关于直线对称B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9C．圆C的圆心在直线或直线上D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个【答案】ACD【分析】对于A，将线关于线对称转化为点关于线对称，利用点关于线对称的解决办法及点在直线上即可求解；对于B，根据已知条件设出圆心，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式即可求解；对于C，利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式，结合点在直线上即可求解；对于D，根据已知条件及选项C的结论，利用点到坐标轴的距离公式及半径的定义，结合点在直线上即可求解.【详解】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确；对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误；对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确；对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.故选：ACD.11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（    ）A．B．C．四边形的面积为D．平行六面体的体积为【答案】ABD【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.【详解】，则，故，A正确；，，，故，B正确；连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，面积为，C错误；过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，D正确.故选：ABD.12．已知，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】将指数转化为对数可得，，利用换底公式计算的值可判断A；根据对数函数的单调性判断的范围即可得的范围，再由即可得的范围可判断B；由对数的运算可得，利用函数的单调性求出得范围可判断C；根据的范围即可得以及的范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】由可得：，，对于A：，所以，故选项A正确；对于B：，，即，所以，，即，所以，所以，，故选项B正确；对于C：，，所以，令，则在上单调递增，所以，故选项C正确；对于D：，，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC. 三、填空题13．在的展开式中，的系数为______．【答案】【分析】原多项式中写出含的项，然后再从中写出含的项，即可得含的系数.【详解】由含的项中对应的指数分别为，所以，对于中含的项为，所以含的系数是.故答案为：.14．已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】根据是定义在上的偶函数，以及当时，等条件求出时，的导数为,进而求出时， ,代入即可求出答案.【详解】解：由是定义在上的偶函数，当时，，可得时，，所以当时，的导数为，则曲线在点处的切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，所以15．如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______．【答案】【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案.【详解】设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点，作出其截面如图所示，则，， 于是， 过点M作于点H，则，由勾股定理可得︰,所以，所以该球的表面积，故答案为：16．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为：，即，设点，可得：，联立方程组，解得：，同理可得：，所以，因为，所以，所以，由题意可得：，所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，所以双曲线离心率的取值范围为，故答案为：. 四、解答题17．如图，在中，D是边上的一点，，．(1)证明：；(2)若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求．【答案】(1)证明见解析.(2). 【分析】（1）在和中分别用正弦定理表示出，相比即可证明结论；（2）利用（1）的结论可求得，继而由余弦定理求得的长，即可得长，从而求得的长，即可求得答案.【详解】（1）证明：在中，，在中，,由于,故，所以.（2）因为，故，由为纯角，故为锐角，又，且D为靠近B的三等分点，，，故，故,故，则,故.18．2023年1月14日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷．(1)现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有的游客给予好评，中年群体有的游客给予好评，青年群体中有的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为，从这三个群体中随机抽取1名游客，求该游客给予好评的概率．(2)镇邦美食街共有多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了名游客的数据，列出如下列联表：对镇邦美食街餐饮价格是否满意明码标价指导会前明码标价指导会后合计满意285785不满意12315合计4060100 请根据小概率值的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联．▲参考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828  【答案】(1)(2)有关联 【分析】（1）设游客总人数为，分别求出老、中、青年人的人数，即可得到给予好评的人数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；（2）根据列联表数据求出卡方，即可判断.【详解】（1）解：设游客总人数为，则老年人有（人），中年人有（人），青年人有（人），所以给予好评的人数为，所以从这三个群体中随机抽取1名游客，该游客给予好评的概率.（2）解：零假设为：游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会之间有关联，此推断犯错误的概率不大于.19．已知为正项数列的前n项的乘积，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．【答案】(1)(2)2022 【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数可得，结合时，可得是常数列，即可求得答案.（2）由（1）的结论可得的表达式，从而求得，结合放缩法以及等比数列的前n项和公式确定的范围，结合的含义求得答案.【详解】（1）由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，所以，即，所以，即，所以，当时，，解得，所以，结合，可知数列 是常数列，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，则，由于，故，且，故，.20．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可证明；（2）设且，利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数的值，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以、，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，且不存在使得，即与不共线，所以与平面不平行且不垂直.（2）解：设且，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为，，化简得，解得或（舍去），因为，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，所以，，平面，所以平面，又，所以，，所以，所以，即多面体的体积为.21．如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点．(1)若且时，求面积的最小值；(2)若，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程并联立抛物线方程，表示出的坐标，从而求得面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.（2）设直线方程并联立抛物线方程，表示出的坐标，求出直线的斜率的表达式，从而表示出直线的方程，结合直线过定点的解法，即可证明结论.【详解】（1）当时，为y轴上一点，因为，所以，设的方程为，由，可得，由于为抛物线内一点，，故，则，故中点为，即，同理可得,即，因为,则,所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的面积的最小值为；（2）证明：由题意知所在直线的方程为，代入中，得，设，则有，从而，则；所在直线的方程为，同理可得，所以，所以直线的方程为，即，又，故，代入，得，即，当时，，即，所以直线恒过定点.【点睛】关键点点睛：解答本题的一般方法是设直线方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，进行化简等，从而证明直线恒过定点，需要表示出直线的斜率，进而表示出其直线方程，由其方程可得到定点，难点在于参数多，计算十分复杂，要注意解题思路的通畅.22．已知函数．(1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为.(2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，依题意求出求的值，令，利用导数说明的单调性，即可得到的单调性，从而求出函数的单调区间；（2）依题意可得，设函数，则，利用导数说明的单调性，即可得到，则只需在上有两个根，然后构造新函数求的取值范围.【详解】（1）函数定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，令，，则，所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）依题意即在上有两个根，整理为，即，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以，所以只需在上有两个根，令，，则，当时，，当时，，故在处取得极大值即最大值，，且当时，当时，要想在上有两个根，只需，解得，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果.