2023届河北省石家庄市高三新高考考前模拟数学试题含解析

2023届河北省石家庄市高三新高考考前模拟数学试题

一、单选题

1． 设集合，，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可

【详解】由题，，则，

故选：A

2．已知命题：，，则为（    ）

A．，     B．，

C．，     D．，

【答案】B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定判断.

【详解】因为命题：，，

所以：，，故A，C，D错误.

故选：B.

3．已知是虚数单位，若复数满足：，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用计算得，即可得答案

【详解】解：由可得，

所以，

故选：A

4．已知函数 ，且​，则下列陈述不正确的是（    ）

A．函数​的最小正周期为​

B．​为​的一个对称轴

C．函数​在区间​上单调

D．函数​在区间​上有两个零点

【答案】C

【分析】先根据已知求出的值，由此得到函数的解析式，结合函数的性质，对A、B、C、D四个选项逐个进行求解即可.

【详解】，.

又，

对A，函数的最小正周期，故A正确；

对B，由得，为的一个对称轴，故B选项正确；

对C，由 ，所以为的一个对称轴，

函数在区间上不单调，所以选项C不正确；

对D，令得 ，

即

令，或，函数在区间上有两个零点，故选项D正确.

故选：C

5．战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作图，然后分别计算三棱锥和圆柱的体积，再相加即可.

【详解】由题意，铜镞的直观图如图所示，

三棱锥的体积，

因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，

所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积

所以此铜镞的体积为

故选：A.

6．设是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的标准方程可得a＝2，再由双曲线的定义可得 得到，再根据两点的位置特征得到答案．

【详解】如图，

根据双曲线的标准方程，得，

由双曲线的定义可得：

可得：

过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，

当是双曲线的通经时最小．

解得，则

故选

【点睛】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题．

7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．事件与事件B相互独立

C． D．

【答案】D

【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；

B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；

C选项，利用条件概率公式求解即可.

【详解】由题意得，所以A错误；

因为，

，所以，即，

故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；

，所以C错误；

故选：D

8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ）

A． B．为奇函数

C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解

【答案】C

【分析】由题设可得关于、对称且周期为8，利用对称性和周期性求、判断奇偶性及在上的单调性，由与交点情况，数形结合判断根的个数.

【详解】由题设，则关于对称，即，

，则关于对称，即，

所以，则，故，

所以，即，故，

所以的周期为8，

，A正确；

由周期性知：，故为奇函数，B正确；

由题意，在与上单调性相同，而上递增，

关于对称知：上递增，故上递增，

所以在上是增函数，C错误；

的根等价于与交点横坐标，

根据、对数函数性质得：，，

所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.

故选：C

二、多选题

9．中国网络文学历经年的发展，取得了引人注目的成就.以往反响较大的玄幻类题材影响力开始下降，讴歌祖国、讴歌人民和英雄、传承优秀传统文化、颂扬当代美好生活的优秀作品逐渐赢得读者的青睐﹐下图是2013—2019年中国网络文学市场规模情况，则下列结论错误的是（       ）

A．这年网络文学市场规模的中位数为

B．2013年至2015年的同比增长相对2017年至2019年，波动性更大

C．这年网络文学市场规模的极差为

D．这年同比增长的平均数超过

【答案】ACD

【分析】由条形图、折线图及中位数的定义直接判断A、B；根据极差、平均数的求法求极差和平均数判断C、D.

【详解】由条形图知﹐这7年网络文学市场规模的中位数为，故A错误﹔

由折线图知：2013年至2015年的同比增长相对2017年至2019年，波动性更大，故B正确，

这年网络文学市场规模的极差为故C错误，

这年同比增长的平均数为

故D错误.

故选：ACD.

10．设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（    ）

A．若，则存在实数使得

B．若，则

C．若，则在方向上的投影向量为

D．若存在实数使得，则

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.

【详解】当时，的方向相反且，则存在负实数，

使得，故A正确D错误；

若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这

个矩形的两条对角线长，所以，故B正确；

若则的方向相同．在方向上的投影向量为，故C正确．

故选：ABC.

11．如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．的长度为

B．扇形的面积为

C．当与重合时，

D．当时，四边形面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.

【详解】解：依题意圆的半径，，，，

所以的长度为，故A正确；

因为，所以扇形的面积，故B错误；

当与重合时，即，则，则，故C正确；

因为，所以

所以当，即时，故D正确；

故选：ACD

12．已知正方体，棱长为分别是的中点，连接，记所在的平面为，则（    ）

A．与正方体的棱有6个交点

B．

C．截正方体所得的截面面积为

D．与所成角的正弦值为

【答案】ABC

【分析】利用平面的基本性质画出与正方体的截面，即可判断A、C；利用线面垂直的判定证判断B；几何法找到线面角的平面角，即可求其正弦值，判断D.

【详解】如下图，设的中点为，连接，

因为，所以为梯形.

延长交于，连接，交于，

因为，所以.

因为，所以.

设分别是的中点，

因为，

所以共面，均在内.

所以与正方体的棱有六个交点，A正确.

因为正六边形的边长为，

所以，C正确.

因为，

所以为相交直线且在内，

所以，B正确.

如下图，延长交于，

因为面，所以面，同理面，

因为面面，所以，即，

设的中点，则为的中点，即.

因为，所以为与的所成角，D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）.

【答案】（答案不唯一）

【分析】首先化简函数，再根据正切函数的对称中心公式求解.

【详解】，

令或，

则或，

令，则.所以函数的一个对称中心是.

故答案为：（答案不唯一）.

14．的展开式的常数项是___________．

【答案】70

【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.

【详解】的通项公式为；

当时，中的常数项为；

当时，中的常数项为；

当时，；

所以的展开式的常数项为；

故答案为：70.

15．过圆上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.

【答案】4

【分析】由切线长公式求得切线长，因此需要求得的最小值，而的最小值可由减圆半径得到，由此可得结论．

【详解】由题意，半径为，

，

，圆的半径为，所以，

所以．

故答案为：4．

16．定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】构造函数，根据已知判断函数的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为，利用单调性和奇偶性可解.

【详解】记，则

由可得

所以为偶函数

记，则

因为当时，，当时，

所以，当时，有最小值

又因为在上，即

所以

所以在上单调递增，

由可得

即

所以，即，解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知，，分别为三个内角，，的对边，.

(1)求；

(2)若，的面积为，求，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得的值，进而求得；

（2）利用三角形面积公式求得的值进而根据余弦定理求得的值，最后联立方程求得和．

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得：，

，

，，

，，，

.

（2）解：，，

由余弦定理得：，，

联立，解得.

18．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；

【答案】(1)，中位数；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；

（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，

解得，

设中位数为， 解得；

（2）的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1

从中分别抽取7人，3人，1人，

所有可能取值为0，1，2，3，

，，，

故的分布列为：

故

19．已知等比数列的前项和为，，且满足.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得首项和公比，从而求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

依题意，，则.

，

若，则不成立，

所以且，所以，

即，

所以，解得.

所以.

（2），

，

，

两式相减得

.

所以.

20．如图，且，，且，且，平面，．

(1)求平面与平面的夹角；

(2)求直线到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.

【详解】（1）因为，面，故可以为坐标原点，

为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图：

由题可知：，，，，，，，

易知面的一个法向量为，设面的法向量为，

，，故得，即，

不妨令y＝1，则，，

所以平面与平面的夹角为．

（2）因为，面，则面，

所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，

如图，连接，由（1）可知平面，平面，

所以，

又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，

则，

，

又因为，所以，

所以直线AD到平面EBC的距离为．

21．已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，进而求得最小值即可判断.

（2）先利用导数得到，进而得到，即，构造，利用导数得到，而，进而求得.

【详解】（1）当时，函数，∴，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即．

（2）由已知得，

当时，令，解得；令，解得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

∴，

由恒成立得，即，

取对数得，即，

令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，

又∵，

∴，得，即，

所以a的取值范围为．

22．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，

（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.

【详解】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为

由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.

动圆与圆内切，且与圆外切，

动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，

其中

从而轨迹的方程为：

（2）（i）设直线的方程为，则

由可得：

直线的方程为，

令可得点的横坐标为：

为一个定点，其坐标为

（ii）根据（i）可进一步求得：

.

，

则

，

四边形面积

（法一）

等号当且仅当时取，即时，

（法二）令，

则

当，即时，

【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.