2023届江西省新余市分宜县中学高三下学期4月第一次模拟数学（理）试题含答案

分宜县中学2023届高三下学期4月第一次模拟

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． 或 D．或

2．设是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列中，、是的两根，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．从分别写有1，3，5，7，9的五张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知直角梯形中，，P是边上一点(不包括B､C两点).若，，且，则的最小值为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

7．已知实数x，y满足不等式组,则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．7 B．3 C．2 D．－1

8．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数（）的部分图象与坐标轴交于点，如图，其中，，且，则的值为

A． B． C． D．

11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A． B．

C． D．

12．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．

14．在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.

15．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为_________.

16．已知直线y=—x+1与椭圆：（）相交于两点，且线段的中点在直线：上，椭圆的右焦点关于直线的对称点在圆上，则椭圆的方程是_______.

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)

17．已知函数满足，且的最小值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，，求的值．

18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；

（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.

19．在正三角形ABC中，E､F､P分别是AB､AC､BC边上的点，满足(如图1)．将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接A1B､A1P(如图2)

(1)求证：平面BEP；

(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．

20．已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.

21．已知函数.

（1）时，求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，与的一个交点为点异于点，与的交点为，求．

23．选修4-5： 不等式选讲

设函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

1．C

2．A

3．B

4．D

5．C

6．C

7．A

8．C

9．C

10．C

12．B

13．

14．256

15．

17．（1）；（2）.

【分析】（1）化简，再利用条件求得的值，进而求出函数的单调区间；

（2）求出，再进行配角得，利用两角差的正弦公式，即可得答案；

【详解】（1）

因为，且的最小值为，所以，

因此

由得

即递增区间为

（2），

.

【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调区间、已知三角函数值求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角的配凑.

18．（1）37；（2）（ⅰ）；（ⅱ）1760.

【解析】（1）用每组数据中间点值乘以频率相加即得；

（2）（i）年龄在[50，70）的人有6人，其中年龄在[50，60）的有4人，6人分别编号后用列举法写出任选2人的所有基本事件，同时得出至少有1人年龄不低于60岁的基本事件，计数后可得概率；（ⅱ）求出18岁以上的居民所占频率即可得．

【详解】解：（1）平均数．

（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．

则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：

（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，

故所求概率．

（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，

故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．

【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，考查频率分布直方图的应用，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．

19．(1)证明见解析；

(2)﹒

【分析】(1)设正三角形的边长为3．在图1中，取的中点，连接．由已知条件推导出是正三角形，从而得到．在图2中，推导出为二面角的平面角，且．由此能证明平面．

(2)建立分别以、、为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的大小．

【详解】（1）不妨设正三角形ABC的边长为3．

在图1中，取BE的中点D，连接DF．

由|AE|：|EB|＝|CF|：|FA|＝1：2，则|AF|＝|AD|＝2，而，

又是正三角形，又|AE|＝|DE|＝1，∴EFAD．

在图2中，A1EEF，BEEF，∴A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，则A1EBE．

又BE∩EF＝E，∴A1E平面BEF，即A1E平面BEP；

（2）建立分别以EB､EF､为x轴､y轴､z轴的空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，，，，，

则，，．

设平面ABP的法向量为，

由平面ABP知，，，即，

令，得，，即，

设直线A1E与平面A1BP所成角，

则，

∴故直线A1E与平面A1BP所成的角为．

20．(1)

(2)

【分析】（1）设，则，通过向量的数量积求出动点的轨迹的方程；

（2）设点为轨迹C上一点，直线为轨迹的切线，与椭圆方程联立，利用判别式求出，设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解斜率乘积即可．

【详解】（1）设，则，有，，，，

从而由题意，得，

所以动点的轨迹的方程；

（2）设点且为轨迹上一点，直线为轨迹的切线，

有，消去得，

其判别式，解得，有，

设，

联立得，所以，

可得，解得，

所以为定值.

21．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；

（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值.

【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，.

由，可得；由，可得.

所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），可得，

因为，可得，所以，不等式在时恒成立，

令，其中，所以，，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，且，，

所以，存在使得.

且当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调地增，

所以，当时，，

因为，因此，整数的最大值为.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．（1）； （2）3.

【解析】（1）根据曲线C的参数方程，先转化为直角坐标方程，再将直角坐标方程转化为极坐标即可.

（2）根据曲线、曲线与曲线C的极坐标方程，可分别求得曲线与曲线的极径，结合极坐标的几何意义即可求得.

【详解】1曲线C的参数方程是为参数，

转换为直角坐标方程为，

转换为极坐标方程为．

2曲线的极坐标方程是，

曲线的极坐标方程是，

与C的一个交点为点M异于点，则，解得，

与的交点为N，则解得，

所以．

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，极坐标几何意义的应用，属于中档题.

23．（1）4（2）

【详解】试题分析：（1）当时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）将不等式恒成立中求解参数的范围的问题转化为求函数的最值问题，其中求解函数最值时可结合绝对值不等式的性质得以实现.

（1）时，，

所以函数的最小值为4．

（2）恒成立，即恒成立，

当时，显然成立；

当时，．

综上，的取值范围是．