2023届宁夏银川市第二中学高三模拟数学（文）试题含解析

2023届宁夏银川市第二中学高三模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解不等式，求出集合与，再求交集即可.

【详解】由题意可得，

则，

故选：B.

2．设复数满足，是虚数单位，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，故选A.

3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断，执行条件可得选项.

【详解】初始条件：，判断，所以，；

时，判断，；

时，判断，；

时，判断，；

时，，判断不满足条件，退出循环，输出．

故选：A．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二倍角公式与整体法诱导公式进行求解.

【详解】

故选：D

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先判断函数的奇偶性排除A、C，再通过特殊点排除D.

【详解】因为，所以是偶函数，

所以的图象关于y轴对称，排除A，C；

因为，排除D.

故选：B.

6．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出三个数，每人则可喊五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜.若甲喊10，乙喊15，则（    ）

A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大

C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定谁获胜的概率大

【答案】A

【解析】列出符合题意的各种情况的个数，求出概率比较即可.

【详解】甲、乙两人喊拳，每人用手出三个数，有，共9种情况.若甲喊10，则有，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为；乙喊15，有，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为，所以甲胜的概率大.

故选：A

【点睛】本题考查概率的应用，古典概型概率计算公式，属于基础题.

7．已知数列满足,且前n项和为,若,

则（    ）

A． B．145 C． D．175

【答案】D

【分析】利用等差中项法可判断出数列是等差数列,由已知条件计算得出的值,再利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.

【详解】对任意的,,即,

所以数列为等差数列,

,,

由等差数列的求和公式可得:

.

故选:D.

8．已知定义在R上的函数满足且当时，则=（    ）

A．0 B．1 C．-2 D．-1

【答案】A

【分析】根据得到是的一个周期，然后利用周期求函数值即可.

【详解】因为，所以，即是的一个周期，所以.

故选：A.

9．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】如下图所示：

当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的距离相等，

若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距离相等，

即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；

若，则内所有点到平面内的距离都相等，

即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.

因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

10．抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线定义可知，由此可知，结合在抛物线内侧可求得的范围.

【详解】由抛物线方程知：，准线；

过作，垂足为，

由抛物线定义知：，，

则当三点共线时，取得最小值，即图中的，

，，解得：；

又在抛物线内侧，，解得：，

实数的取值范围为.

故选：D.

11．“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，再按影长与的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（    ）

A．里 B．里

C．里 D．里

【答案】C

【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则得解.

【详解】由题意可知，

所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里，

故选：C．

12．已知实数满足，，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为求解直线上的点与曲线上的点之间的距离的最小值的问题，利用导数可求得与平行的切线对应的切点，求解该切点到直线的距离即可.

【详解】，又，

表示点与曲线上的点之间的距离；

点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；

令，则，

令，即，解得：或（舍），

又，

的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题求解最小值的关键是将所求式子进行变形后，根据其几何意义，将问题转化为直线上的点与曲线上的点之间的距离的最小值的求解问题，从而利用求解切线的方式来求得最小值.

二、填空题

13．若满足约束条件则的最大值为__________．

【答案】14

【解析】由线性约束条件作出可行域，作直线由可得，作直线

沿可行域方向平移，由的几何意义即可求解.

【详解】由线性约束条件作出可行域如图，

由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点时，

取得最大值，

由可得，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型

（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；

（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；

（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.

14．若向量，，且，则与的夹角大小是__________.

【答案】

【分析】利用平面向量垂直的性质及向量夹角公式求解即可.

【详解】∵，∴ ，

∵，∴，∴，

∴与的夹角大小为，

故答案为：.

15．把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于_____________．

【答案】

【分析】先说明正四棱锥和剩下的几何体的外接球球心重合，再通过解三角形求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求得答案．

【详解】设正四棱锥底面的正方形为，顶点为，棱的三等分点为点和点，棱的三等分点为点和点，连接与交于点，连接，，，，，则底面，如图所示，

因为正四棱锥的棱长是6，即，

所以，

所以，

即，

所以正四棱锥的外接球的球心为点，，

又因为，，，

所以，则,

同理可证，则,

又因为，，，

所以，则，

同理可证出该几何体其他顶点到点的距离都相等，

故剩下的几何体的外接球的球心也为点，

，

所以在中，，

解得，

即剩下的几何体的外接球的半径为，

故剩下的几何体的外接球的表面积：，

故答案为：．

16．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，它有如下特征：（1）实轴与虚轴长度相等；（2）离心率；（3）两条渐近线互相垂直，根据这些特征可以判断：反比例函数的图像是等轴双曲线，双曲线的焦点坐标是_______.（写出一个即可）

【答案】答案不唯一

【分析】利用双曲线的几何性质，焦点在渐近线的夹角的角平分线上，且曲线上点到焦点的距离差的绝对值为定值.

【详解】双曲线的焦点在渐近线夹角的角平分线上，设，，

在曲线上取两点， ，

则 ，

，

，

由已知 ，，

,

,

,

,

,

, 双曲线的焦点坐标是.

故答案为: .(答案不唯一)

三、解答题

17．已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的性质求解得，即，结合与即可求得的通项公式；

（2）直接应用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）解：因为是首项为1，公差为1的等差数列

所以，则

于是当时，

当时，

则符合上式，所以.

（2）解：

则

.

18．如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积.

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面面，即可得出结论；

（2）利用已知条件分别求出三棱锥和四棱锥的体积，相加即为多面体的体积.

【详解】（1）四边形是菱形，

，又面，面，面，

同理得，面，

，面，且，面面，

又面，平面；

（2），，，

，，，，

在菱形中，，

，，

面面，取的中点，连接，，

面，面，由（1）知，面面，

点到面的距离为，

又点到面的距离为，连接，

则.

【点睛】本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查空间想象能力，属于常考题.

19．某企业投资两个新型项目,投资新型项目A的投资额m（单位:十万元）与纯利润n（单位:万元）的关系式为,投资新型项目B的投资额x（单位:十万元）与纯利润y（单位:万元）的散点图如图所示.

(1)求y关于x的线性回归方程;

(2)根据（1）中的回归方程,若A,B两个项目都投资6（单位:十万元）,试预测哪个项目的收益更好.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.

【答案】(1).

(2)投资项目收益更好.

【分析】（1）由散点图得到的数据,计算出,代入公式即可求解.

（2）将6分别代入两个方程求出和的值,比较大小即可求解.

【详解】（1）由散点图可知,取1,2,3,4,5时,的值分别为2,3,5,7,8,

所以,,

．

则．

故关于的线性回归方程为:

（2）因为投资新型项目的投资额（单位:十万元）与纯利润（单位:万元）的关系式为,

所以若投资项目,则该企业所得纯利润为万元;

因为关于的线性回归方程为,

所以若投资项目,

则该企业所得纯利润的估计值为万元．

因为,

所以可以预测投资项目收益更好.

20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

【答案】(1)；

(2)过定点，.

【分析】（1）根据已知条件列方程即可解得值，方程可求解；

（2）设直线的方程为，联立椭圆方程结合韦达定理得关系，又得，代入坐标化简即可求解.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，，

联立

整理得，

则，即

又，

因为，所以，

所以

所以，

即

整理得，即，此时

则直线的方程为，故直线过定点.

21．函数，，其中，是自然对数的底数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）若时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）当时，，对函数求导，分析函数的单调性，可得的最小值，

（2）令函数（），对函数求导，分析其导函数的正负，得出函数的单调性，可得出的取值范围.

【详解】（1）当时，，∴，

①当时，，在上单调递减；

②当时，，在上单调递增.

∴；

（2）令（），则，∴，

令，则，

①当时，恒成立，可得在上单调递增，∴，

∴恒成立，∴恒成立.

②当时，当，，在上单减，

当，，在上单增，

则当时，，

∴，时，.

∴不是恒成立的.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，构造新函数解决不等式恒成立问题，属于较难题.

22．在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求圆的极坐标方程；

(2)设点在曲线上，且满足，求点的极径．

【答案】(1)

(2)1或

【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.

【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为

，圆心．

把代入，

化简得圆的极坐标方程为．

（2）由题意，在极坐标系中，点．

点在曲线上，设．

在中，由余弦定理有，

即．

化简得．

解得或．

故或．

点的极径为1或．

23．已知，

(1)当时，解关于的不等式；

(2)若对，都有成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）分类讨论的值，再解不等式；

（2）将问题转化为，由绝对值三角不等式以及二次函数的性质得出，再解不等式得出的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，，∴

当时，，无解．

当时，，∴

综上不等式的解集为

（2）由已知

∵，

∴

∴等价于或，

解得或．