2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）
1．（3分）“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累计确诊617597680人，这个数据用科学记数法表示（精确到万位），正确的是（　　）
A．6.1759768×108 B．6.176×104
C．6.176×108 D．6.1760×108
2．（3分）已知A，B，C三点在数轴上从左向右排列，且AC＝3AB＝6，原点O为AC中点，则点B所表示的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B．16的平方根是4
C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
D．五边形的内角和为540°
5．（3分）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
当y＜5时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4
7．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．（3分）在矩形OABC中，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝（k≠0）上，BC与y轴交于点D，且CD＝3BD．AO与x轴负半轴的夹角的正弦值为，连接OB，S△OBD＝3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
11．（3分）分解因式：2a2+8ab+8b2＝　 　．
12．（3分）方程的最简公分母是 　 　．
13．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），△OAB沿AC方向平移AC长度的到△ECF，四边形ABFC的面积为 　 　．

14．（3分）一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，等腰直角△EBF绕着B点旋转，BF＝EF，∠BFE＝90°，则DE：AF＝　 　．

16．（3分）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③＝；④GH的长为5，
其中正确的结论有　 　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题（共9小题）
17．（4分）解不等式组
18．（4分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．

19．（6分）已知代数式．
（1）化简已知代数式；
（2）若a满足，求已知代数式的值．
20．（6分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗，以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　 　；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．

甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225

21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
22．（10分）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的长．

24．（12分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°．
①求∠ADE的度数；
②求DM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，连接BF，DG，求证：DG＝BF．


2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（3分）“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累计确诊617597680人，这个数据用科学记数法表示（精确到万位），正确的是（　　）
A．6.1759768×108 B．6.176×104
C．6.176×108 D．6.1760×108
【分析】先将原数精确到万位，然后根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：617597680≈617600000＝6.1760×108，
故选：D．
【点评】本题考查了近似数以及科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）已知A，B，C三点在数轴上从左向右排列，且AC＝3AB＝6，原点O为AC中点，则点B所表示的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】如图，由原点O为AC中点，得AO＝CO，那么A、C表示的数互为相反数．设A点表示的数为x，则C表示的数为﹣x，故AC＝﹣x﹣x＝6，求得x＝﹣3，从而解决此题．
【解答】解：如图．

∵原点O为AC中点，
∴AO＝CO．
∴A、C表示的数互为相反数．
设A点表示的数为x，则C表示的数为﹣x．
∵AC＝﹣x﹣x＝6，
∴x＝﹣3．
∵AC＝3AB＝6，
∴AB＝2．
∴B点表示的数为﹣3+2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）
C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的除法运算法则、去括号法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、a15÷a5＝a10（a≠0），故此选项错误；
C、﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a，故此选项正确；
D、（a5）2＝a10，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的除法运算、去括号法则、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B．16的平方根是4
C．对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
D．五边形的内角和为540°
【分析】根据平方根、矩形、多边形内角和、三角形的外心等知识进行判断即可．
【解答】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题；
B、16的平方根是±4，算术平方根是4，故为假命题；
C、对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故为假命题；
D、五边形的内角和为540°，为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查判断命题的真假，涉及平方根、矩形、多边形内角和、三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．
5．（3分）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两人的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
当y＜5时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4
【分析】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和开口方向，从而可以得到y＝5对应的x的值，然后根据二次函数的性质，即可得到当y＜5时，x的取值范围．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，
则当y＝5对应的x的值是x＝﹣2或x＝4，
故当y＜5时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OC，OD，

∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴＝＝π，
故选：A．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
10．（3分）在矩形OABC中，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝（k≠0）上，BC与y轴交于点D，且CD＝3BD．AO与x轴负半轴的夹角的正弦值为，连接OB，S△OBD＝3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，由题意可知∠1＝∠2＝∠3，由CD＝3BD，S△OBD＝3可知S△OCD＝9，设BD＝a，则CD＝3a，利用三角函数求得OD＝5a，
利用S△OBC＝9，求得a的值，在△OCE中利用三角函数求得OE和CE的长，从而求得点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠1+∠COE＝90°，
∵CE⊥x轴，
∴∠2+∠COE＝90°，CE∥x轴，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵CD＝3BD，S△OBD＝3，
∴S△OBC＝4S△OBD＝12，
设BD＝a，则CD＝3a，
∵sin∠1＝，
∴sin∠2＝sin∠3＝，
∴，
∴OD＝5a，
∴OC＝4a，
S△OBC＝×4a×4a＝12，
∴a＝，
∴OC＝，
∵sin∠2＝，
∴，
∴OE＝，
∴CE＝，
C（，），
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数k的几何意义等知识的综合运用，求出点C的坐标，是解决本题的关键．
二、填空题（共6小题）
11．（3分）分解因式：2a2+8ab+8b2＝　2（a+2b）2　．
【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：2a2+8ab+8b2
＝2（a2+4ab+4b2）
＝2（a+2b）2．
故答案为：2（a+2b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
12．（3分）方程的最简公分母是 　x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，据此求解可得．
【解答】解：﹣＝，
，
∴最简公分母是x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是明确解分式方程的一般步骤．
13．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），△OAB沿AC方向平移AC长度的到△ECF，四边形ABFC的面积为 　3　．

【分析】根据平移的性质可判断四边形ABFC为平行四边形，根据点坐标的性质可求出四边形ABFC的底与高，即可求出面积．
【解答】解：∵点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），
∴AC＝5﹣4＝1，AC∥x轴，
∵△OAB沿AC方向平移AC长度的到△ECF，
∴AC＝BF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC的高为C点到x轴的距离，
∴S四边形ABFC＝1×3＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质和四边形的面积公式解答．
14．（3分）一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　＞　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】先由一元二次方程根的判别式求得m，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9，
∵9＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式、反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，等腰直角△EBF绕着B点旋转，BF＝EF，∠BFE＝90°，则DE：AF＝　　．

【分析】连接BD，证△AFB∽△EBD，得＝，根据等角直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．
【解答】解：如右图，连接BD，
由题知，四边形ABCD为正方形，△EBF为等腰直角三角形
∵∠FBA+∠ABE＝∠FBE＝45°，∠ABE+∠EBD＝∠ABD＝45°，
∴∠FBA＝∠EBD，
由题知，△EBF为等腰直角三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴＝＝，
∴△AFB∽△EBD，
∴＝＝，
故答案为：．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据∠FBA＝∠EBD，＝＝，证△AFB∽△EBD是解题的关键．
16．（3分）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③＝；④GH的长为5，
其中正确的结论有　①③④　．（写出所有正确结论的序号）

【分析】过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN＝x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD＝DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．
【解答】解：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，
由折叠可得AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AF＝AB＝10，
故①正确；
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，
设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，
又由折叠的可知DG＝DC＝10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，
即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝4，
∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，
又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，
∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，
∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴＝＝，即＝＝，
∴NH＝3，GH＝CH＝5，
∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，
故④正确；
又△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，
∴BG＝4，GF＝6，
∴△BGH的周长＝BG+GH+BH＝4+5+7＝12+4，＝＝，
故②不正确；③正确；
综上可知正确的为①③④，
故答案为：①③④．

【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G点作AB的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．
三、解答题（共9小题）
17．（4分）解不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x+2＞3（x﹣2），得：x＞﹣4，
由x﹣1≤6﹣3x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（4分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求证：AC＝DF．

【分析】由AD＝BE知AB＝ED，结合∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依据两三角形全等对应边相等可得AC＝DF．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）已知代数式．
（1）化简已知代数式；
（2）若a满足，求已知代数式的值．
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）根据已知易得a2＝4+a，然后代入（1）中化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝•
＝•
＝；
（2）∵，
∴a2﹣4﹣a＝0，
∴a2＝4+a，
∴当a2＝4+a时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（6分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗，以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝　1500　，b＝　0.35　，c＝　900　；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　108°　；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．

甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225

【分析】（1）①分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；
②由360°乘以40﹣49周岁年龄段人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），
∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝0.35，
在甲医院接种人数为：400÷0.1＝4000（人），
∴c＝4000×0.225＝900，
故答案为：1500，0.35，900；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（2）画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，
∴这三人在同一家医院接种的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：﹣20＝，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．
22．（10分）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据△ACD的面积＝△AOD+△COD的面积，可以求得DM的长，即DM的长就是点D到直线AC的距离．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3＝，点C与点A关于原点O对称，
∴k＝6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k＝6，
∴AN＝2，
∵△APO的面积为2，
∴，
即，得OP＝2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
，得，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝0.5x+2，
当y＝0时，0＝0.5x+2，得x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，0），
∵点A（2，3），
∴OA＝＝，
∵点A和点C关于点O对称，
∴OA＝OC＝，
∴，
即，
解得，DM＝，
即点D到直线AC的直线得距离为．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的长．

【分析】（1）证明OD∥AE可得结论．
（2）在Rt△ODC中，根据sin∠C＝＝，求出半径r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥EC，
∴OD∥AE，
∴∠ADO＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴＝，
即点D是的中点．

（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r，
∵∠ODC＝90°，
∴sin∠C＝，
∴＝，
解得r＝，
∵OH⊥AE，EC⊥AE，
∴OH∥EC，
∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C＝，
∴＝，
∴AH＝，
∴AF＝2AH＝9．

【点评】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．（12分）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y＝x﹣
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，﹣）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，﹣）．

（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：

作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OF＝＝＝＝amt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴＝2．

【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．
25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°．
①求∠ADE的度数；
②求DM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，连接BF，DG，求证：DG＝BF．

【分析】（1）①由正方形的性质得AD＝2，AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝45°，则∠ADE＝∠DEC，再证△CEF是等腰直角三角形，得∠FEC＝45°，则∠DEC＝60°，即可得出结论；
②过点M作MH⊥AD于点H，证DM＝2DH，AH＝MH，设DH＝x，则DM＝2x，再由勾股定理得MH＝x＝AH，然后由AH+DH＝AD＝2，得x+x＝2，即可解决问题；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，证EH＝CH＝FH，设CG＝BE＝y，则EH＝1﹣，BH＝1+，再由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD＝2，AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵∠DEF＝15°，
∴∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝15°+45°＝60°，
∴∠ADE＝60°；
②如图1，过点M作MH⊥AD于点H，
∵MH⊥AD，∠DAC＝45°，
∴∠DMH＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∠HMA＝∠DAC＝45°，
∴DM＝2DH，AH＝MH，
设DH＝x，则DM＝2x，
在Rt△MHD中，由勾股定理得：MH＝＝＝x＝AH，
又∵AH+DH＝AD＝2，
∴x+x＝2，
解得：x＝﹣1，
∴DM＝2﹣2；
（2）证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图2所示：
∴∠FHB＝∠FHC＝90°，
∵∠ACB＝45°，EF⊥AC，
∴∠FEC＝45°＝∠ACB，
∴FE＝FC，
∴EH＝CH＝FH，
设CG＝BE＝y，则EH＝CH＝FH＝（BC﹣BE）＝1﹣，
∴BH＝BE+EH＝y+1﹣＝1+，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点G在BC的延长线上，
∴∠DCG＝∠BCD＝90°，
在Rt△BFH和Rt△DGC中，∠FHB＝∠DCG＝∠90°，
由勾股定理得：BF2＝FH2+BH2＝（1﹣）2+（1+）2＝2+y2，DG2＝DC2+CG2＝22+y2＝4+y2，
∴DG2＝2BF2，
∴DG＝BF．


【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
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