2023届北京市中央民族大学附属中学高三零模数学试题含解析

这是一份2023届北京市中央民族大学附属中学高三零模数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市中央民族大学附属中学高三零模数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集定义求出，利用交集定义能求出．【详解】解：集合，，则或，．故选：D2．已知为虚数单位，复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.3．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.【详解】对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确；对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；对C，在定义域内单调递减，故C错误；对D，不是奇函数，故D错误.故选：A.4．直线与圆的位置关系是（    ）A．相交且过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选:D5．双曲线为，则它的焦点到渐近线的距离为(    )A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，利用点到直线距离的距离公式即可求解.【详解】设焦点在x轴上的双曲线标准方程为：，则焦点到渐近线的距离为：.故本题答案为b＝2.故选：A.6．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意列出关于t的方程即可求得该患者的麻醉时间.【详解】由题意得，，即，则，解得.故选：B7．等差数列前项和为， ，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.【详解】，即故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.8．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.【详解】因为，所以，即，即，又，结合已知条件可知，故.故选：C.9．已知．则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.【详解】，，则或，由得，由得，显然，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.10．已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（    ）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据集合满足的条件①②可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案.【详解】对于条件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，例如.故选：B. 二、填空题11．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．12．已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．【答案】5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，则有，所以．故答案为：513．在展开式中，含的项的系数是__________．【答案】20【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故在展开式中，含的项的系数为20．故答案为：2014．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．【答案】【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.【详解】设点到平面的距离为，则，所以，如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，故点在四边形的边上，则当点在点的位置时，最小，为，当点在点的位置时，最大，为，所以的取值范围是.故答案为：.15．已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：①的最小值为0；②的最大值为3；③若在上单调递减，则的取值范围为；④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个；则全部正确命题的序号为__________.【答案】①②④【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答.【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，若，函数在上递减，在上递增，，若，函数在上递减，在上递增，当时，，若，函数在上递减，在上递增，；当时，，若，函数在上递减，在上递增，，若，函数在上递减，在上递增，当时，，若，函数在上递减，在上递增，；当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，函数在上递减，在上递增，，因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确；显然当时，函数在上也递减，③错误；当或时，函数的图象关于直线对称，当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，则当时，对于任意的，成立，此时，④正确，所以正确命题的序号为①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑 三、解答题16．函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）求在区间的最大值与最小值及对应的x的值.【答案】（1）；（2），此时；，此时；【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为，根据三角函数的图像可得，利用周期公式即可求解.  （2）由（1）可得函数，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，则，由三角函数的图像可知，所以，解得.（2）由（1）可得，因为，所以，当即时，函数；当即时，函数.【点睛】本题考查了三角恒等变换、根据三角函数图像求解析式、三角函数的性质，属于基础题.17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系.则，，，.可得，.所以，所以 （2）由（1）得到，，因此可得，.设平面的一个法向量为，则由得令，解得.同理，可求平面PDC的一个法向量.所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.18．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成， ， ，，五组，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知该校高三年级共有名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数；(2)已知这两个班级各有名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小.（只需写出结论）【答案】(1)(2)分布列见解析；(3) 【分析】（1）根据甲班频率分布直方图求出学生每天学习时间达到5小时以上的频率，由此估计全校的情况作答.（2）求出甲、乙两个班级学生每天学习时间不足4小时的人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（3）利用频率分布直方图求出甲乙两班学生学习时间的平均数、方差作答.【详解】（1）由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为，由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为，人数为人，所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.（2）依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：人，乙班自主学习时长不足4小时的人数为：人，的可能值为：，，，，所以的分布列为： 的数学期望为.（3）甲班学生每天学习时间的平均数为，甲班学生每天学习时间的方差为，乙班学生每天学习时间的平均数为，甲班学生每天学习时间的方差为，所以.19．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.(1)求的方程；(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可【详解】（1）由题意得，解得，，故的方程为.（2）证明：由题意设直线的方程为，，，联立，得，    所以，即，，，因为，所以，所以，    即，则，整理得，    所以，即整理得，解得或，    当时，直线的方程为，恒过点，舍去；当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，即直线恒过定点.20．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.21．已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．（Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；（Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．【答案】（Ⅰ）数列（1）不是{an}的完全数列；数列（2）是{an}的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m≥7，不妨设m＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．【详解】（Ⅰ）数列 （1）不是{an}的完全数列；数列 （2）是{an}的完全数列．理由如下：数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{an}的完全数列；数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{an}的完全数列．（Ⅱ）假设数列{bk}长度为m≥7，不妨设m＝7，各项为b1＜b2＜b3＜…＜b7．考虑数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{bk}的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A．所以a＝b1+b2，A＝b1+b2+25+24+23+22+21＝b1+b2+115．所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．所以子列{bk}的最大长度为6．（Ⅲ）数列{an} 的子列{bk}长度m＝5，且{bk}为完全数列，且各项为b1＜b2＜b3＜…＜b5．所以，由题意得，这5项中任意i（1≤i≤5）项之和不小于2i﹣1．即对于任意的1≤i≤5，有，即．对于任意的1≤i≤5，，设（i＝1，2，3，4，5），则数列{ci}的前j项和Dj≥0（j＝1，2，3，4，5）．下面证明：．因为（）﹣（），，0．所以，当且仅当（i＝1，2，3，4，5）时，等号成立．所以求的最大值为．【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.