2023届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求解集合，进而求出交集.【详解】.故选：A.2．若，则（    ）A．0 B．1C． D．2【答案】C【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以 ．故选：C．【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．3．设，则“”是“”的（    ）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由且且，故选：A．4．记为等比数列的前n项和．若，，则（    ）A．32 B．31 C．63 D．64【答案】B【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，则，，解得又，解得，则故选：B5．将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】列举出所有可能的结果，找到2个1不相邻的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】2个1和3个0随机排成一行，基本事件有：，，，，，，，，，，共种；其中2个1不相邻的有：，，，，，，共种，所以所求概率.故选：C.6．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为由抛物线的定义可得，故选：B7．已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图像（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.【详解】对于，但定义域为，满足，为偶函数.同理可得：为奇函数.记，则所以且，所以为非奇非偶函数；同理可证：为非奇非偶函数；和为奇函数.由图可知，图像对应函数为奇函数，且.显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；对C: ，为奇函数.当时， ，故错误；对D， ，为奇函数.当时， .故正确.故选：D.8．已知函数，下列说法正确的是（    ）A．若，则函数在上存在零点B．若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称C．若函数在上取到最大值，则ω的最小值为D．若函数在上存在两个最值，则的取值范围是【答案】C【分析】对于选项A，由的取值范围求出的取值范围，由正弦函数的性质可判断；对于选项B，由三角函数图象的平移规则得到平移后的解析式，根据偶函数的性质可判断；对于选项C，由已知得，求解即可判断；对于选项D，要使函数在上存在两个最值，则，求解即可判断.【详解】解：对于A：当时，当时，，则，所以函数在上不存在零点，故A错误；对于B：当时，将函数的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，函数图象关于轴对称，故B错误；对于C：因为函数在上取到最大值，所以，即有，化简得因为，所以当时，的最小值为，所以C正确；对于D：当时，，要使函数在上存在两个最值，则，解得，所以D不正确.故选：C9．设f（x）是定义城为R的奇函数，且．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的周期，利用函数周期性即可求解.【详解】由题知，，，则，，变形可得，，的周期为：，，故选：.10．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可【详解】如图，连接，，，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，设正方体的棱长为2，则，，在中，，所以，故选：.11．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.【详解】由双曲线定义得, 故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，故 故选：A12．已知且且且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键． 二、填空题13．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．【答案】##【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，所以 且，则 ，故 ，又，则.故答案为:.14．设函数则满足的x的取值范围是______．【答案】【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】函数的图象如图所示，满足可得或.解得.故答案为：.15．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______．【答案】【分析】先求出球的半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系式，即可得到侧面积表达式，然后用重要不等式即可求解．【详解】解：设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，则由题意知，，解得．又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且．则圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即，时，等号成立．所以，．故答案为：．16．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有______．①若，则从开始出现数字2；②若（，2，3，…，9），则的最后一个数字均为k；③不可能为等差数列或等比数列；④若，则均不包含数字4．【答案】②④【分析】对①，由外观数列定义列举判断；对②，由外观数列定义判断；对③，取反例，如；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.【详解】对①，，①错；对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k（，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对；对③，取，则，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；对④，，设数列首次出现数字4，则必出现了4个连续的相同数字m（，2，3，…，9），而的描述必包含“1个m，1个m”，与的描述矛盾，故均不包含数字4，④对.故选：②④ 三、解答题17．自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能．目前实现科技自立自强我们仍面临巨大挑战，越来越多的企业主动谋划、加快发展，推动我国科技创新迈上新台阶．某企业拟对某芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号1234567x234681013y13223142505658 根据表格中的数据，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：．(1)根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；(2)根据（1）选择的模型，预测对芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2 （附：刻画回归效果的相关指数，）【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，回归模型②的拟合效果更好(2)72.93亿元 【分析】（1）根据相关指数公式，结合不等式性质，可得答案；（2）根据（1）选的模型，代入数据，可得答案.【详解】（1）由表格中的数据，182.4＞79.2，∴，∴模型①的相关指数小于模型②的相关指数，∴回归模型②的拟合效果更好（2）当x＝17亿时，科技升级直接收益的预测值为：．18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．(1)证明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱锥的体积；【答案】(1)证明见解析；(2)1.  【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，由勾股定理得到各边长，得到和，从而得到线面垂直，证明面面垂直；（2）求出四棱锥的体积，进而由E为棱PC的中点得到四棱锥的体积.【详解】（1）∵在四棱锥中，底面，平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，，∴，，且，过点B作BM⊥CD于点M，连接AE，则，，由勾股定理得：，故PB=BC，又点为棱的中点，，由勾股定理得，∵△PAC为直角三角形，E为PC的中点，∴，∵，∴由得，又，故，又，所以平面⊥平面；（2）四边形ABCD的面积为，故，∵点为棱的中点，∴.19．在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，结合以及三角恒等变换可得，求得答案；（2）根据平面向量共线定理可得，因为，，平方后得，结合基本不等式求出，再利用三角形面积公式求得答案．【详解】（1）解：因为，所以，又因为，所以，而 ，所以，即，又因为，所以，故，解得．（2）解：如图，因为，，由，所以，，解得，当且仅当时取“=”，所以的面积为，当且仅当时，的面积有最大值为．20．已知函数．(1)若，求c的取值范围；(2)设时，讨论函数的单调性．【答案】(1)；(2)函数在区间和上单调递减，没有递增区间. 【分析】（1）由题意知，用导数求的最大值即可；（2）对求导得，设 ，再用导数的正负，确定的正负，从而知的单调性.【详解】（1）等价于．设，则．当时，，所以在区间内单调递增；当时，，所以在区间内单调递减．故，所以，即，所以的取值范围是；（2）且 ，因此，设 ，则有，当时，，所以， 单调递减，因此有，即，所以单调递减；当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.21．已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当过点P（0，2）的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据离心率得到，设直线方程为，根据点到直线的距离得到，得到椭圆方程.（2）设，得到，代入椭圆方程化简得到，根据得到，得到答案.【详解】（1），，所以，不妨设直线的方程为，，即，所以原点O到直线的距离为，解得，所以，故椭圆C的标准方程为．（2）设、，设，即整理得到，于是，故，得，即，，又，得，又，故上，且，所以22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．【答案】(1)C：，直线l：(2) 【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，正实数，，满足，求证： ．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【详解】（1）即：①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，综上：不等式的解集为．（2）方法1：，当且仅当时等号成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以,所以，即.∴，当且仅当，即时，等号成立．