2023届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届辽宁省鞍山市高三第二次质量监测数学试题

一、单选题
1．集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为，而，
所以.
故选：A
2．已知，则z对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：，
在复平面对应的点为，
所以在复平面对应的点在第四象限.
故选：D.
3．已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关系求得，再由角的范围有并确定函数值，进而求目标式的值.
【详解】因为，
所以，
所以，则.
因为，则，故，
所以.
故选：A
4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ）
A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】B
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.
故选：B.
5．在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，则点P会在4个面内有轨迹，且均是圆弧，分别计算半径和圆心角即可
【详解】依题意，∵，，，∴，，
所以，所以，又因为，所以，
所以，即.

在平面内满足条件的点的轨迹为，
该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为；
同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为；
在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，
为半径的圆弧，长度为；
同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为.
故轨迹的总长度为.
故选：C.
6．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.
【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.
要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，
所以，即，
所以，
又，所以，所以的最小值为.
故选：C
7．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把变形，，，利用和1比较大小；由于，证明，即可得出结果.
【详解】，
，
，
则.
，
因为，，
所以，，
所以，
所以.
故选：C.
8．已知函数的图像是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.
【详解】解：令，即，
则，令，即，
则，
因为定义域为，所以是奇函数，
由，用替代，
得，
因为是奇函数，
所以，
，且，
则，
因为当时，，
所以，，
即，
所以在上递增，又是定义域为的奇函数，
所以在上递增，
则等价于，
解得，
故选：D

二、多选题
9．下列选项中判断正确的是（    ）
A．当时，的最小值是5
B．若关于x的不等式的解集是或，则
C．已知向量，，若，则
D．已知向量，，，则与的夹角为
【答案】BD
【分析】A利用基本不等式求最小值；B根据一元二次不等式的解集求参数即可判断；C根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可；D利用向量夹角的坐标公式求夹角即可.
【详解】A：因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最大值是，错误；
B：因为关于的不等式的解集是或，则，
关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
所以，正确；
C：由，得，即，解得或，错误；
D：已知则，又，
，则，故，
，又向量夹角在[0,π]区间内，
所以向量的夹角为，正确；
故选：BD
10．已知函数，则（    ）
A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABC
【分析】根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解.
【详解】，
所以，
对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，
即，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由
解得，
所以函数的单调递减区间为，C正确；
因为所以
因为在上有3个零点，所以，
解得，D错误，
故选:ABC.
11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．四面体的体积为定值
B．的最小值为
C．平面
D．当直线与AC所成的角最大时，四面体的外接球的体积为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用平面平面可得到到平面的距离相等，即可判断，对于B，举反例即可判断；对于C，连接，，证明平面平面即可判断；对于D，当与重合时，直线与AC所成的角最大，则求出外接球半径即可
【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以四面体的体积为，
所以四面体的体积为定值，故 A正确；
对于B，当与重合时，，
所以的最小值不为，故B错误；
对于C，

连接，
由正方体可得，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理可得平面
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故C正确；
对于D，因为，所以（或其补角）为直线与AC所成的角，
由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与AC所成的角最大，
所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球的直径为，即，
所以四面体的外接球的体积为，故D正确；
故选：ACD
12．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ）
A．直线，的斜率之积为 B．的离心率为2
C．的最小值为 D．四边形的面积可能为
【答案】AC
【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.
【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；
由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；
设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；
由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，
故选：.

三、填空题
13．的二项展开式中x项的系数为___________.
【答案】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的次数为1，从而可求出x的系数.
【详解】由题知的二项式展开式中通项为，
当时，，
所以展开式中x项的系数为.
故答案为：.
14．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】利用前项和和的关系求通项即可.
【详解】当时，；
当时，由，可得，
故有，当时，不相符.
故答案为：.
15．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.
【答案】
【分析】事件B为前3次中有一次中1发未中，第4次射击中有2发未中，事件AB是第3次有1发未中，第4次有2发未中，然后利用利用条件概率求解.
【详解】解：由题意得，
，
故答案为：
16．已知A､B､C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A､B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若且，则该椭圆的离心率是___________.
【答案】##
【分析】方法一：设椭圆的左焦点为，由条件证明四边形为矩形，设，结合椭圆的定义求，，利用勾股定理列方程可得关系由此可求离心率.
方法二：设，，由可得，由可得，结合点的坐标满足椭圆方程列方程，消元可得关系由此可求离心率.
【详解】方法一：
设椭圆的半焦距为，左焦点为，则
因为两点关于原点对称，所以，又，
所以，所以四边形为矩形，设，因为，所以，
由椭圆的定义可得，，
在，，，，
所以，所以，故，，
在中，，所以，所以，所以离心率.

故答案为：.
方法二：设椭圆的半焦距为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
且①，②，
②×4-①可得，，
因为经过右焦点，，所以，所以，
故，
所以，又，所以，因为，
所以，又，
所以，所以，所以，即，
又，所以，所以离心率.
故答案为：.

四、解答题
17．数列是正项等比数列，已知且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出的通项公式；
（2）由（1）、题设可得，应用裂项相消法求.
【详解】（1）由题设，令公比为，则，
所以，即，则，
故.
（2）由（1）知：，则，
所以.
18．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面．

(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可；
（2）以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以在中，由余弦定理得，
解得，
所以在中，所以，
又因为底面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）因为底面，平面，所以，
结合（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，

所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
设平面的法向量，
则，解得，
所以，
所以结合图像可得二面角的余弦值为.
19．请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理结合得到，求出答案；
选②，由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案；
选③，由正弦定理得到，由辅助角公式得到，求出答案；
（2）利用正弦定理和余弦定理得到，结合△ABC为锐角三角形，求出，求出答案.
【详解】（1）若选①
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
若选②
由，化简得.
由正弦定理得：，即，所以.
因为，所以.
若选③
由正弦定理得，即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知：，又с=1代入上式得：

因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
20．2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）
(3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：








3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30

其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)更适宜
(2)，65.35百万元
(3)分布列见解析，1

【分析】（1）根据散点图确定正确答案.
（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.
（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；
（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以
所以.
所以，即，所以.
令，得，
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.
（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为：

0
1
2
P




所以.
21．抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析

【分析】（1）由焦半径公式求出，求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，利用得到，求出，求出定点坐标.
【详解】（1）由抛物线的定义得，解得，
则抛物线的标准方程为.
（2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为，

由得直线方程为：，
由，解得，
由，解得
由得，假定在轴上存在点使得，设点，
则由（1）得直线斜率，直线斜率，
由得，则有，即，
整理得，
显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，
即当时，恒成立，恒成立，
所以轴上存在点使得.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
22．已知函数，，
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）对函数求导，讨论、研究符号，求函数单调区间；
（2）问题化为，上恒成立，讨论、、并利用导数研究是否恒成立，进而确定参数范围.
【详解】（1）由，当时，恒成立，则在R上单调递减；
当时，令，解得，
当时；当时
在上单调递减，上单调递增
综上，当时，单调递减区间为.
当时，单调递减区间为，单调递增区间.
（2）由得，恒成立，
令，，则，
所以，，
当时，，
令，则，等号仅在时取得，
所以在上单调递增，故，等号仅在时取得，即.
令，则恒成立，
在上单调递增，则，即，
，
所以在上单调递增，则，即，
所以时，在上恒成立.
当时，，，
设，则，
当时，是R上的增函数，在上单调递增，
即时，在上递增，
，故在内存在唯一解，
当时，，则在上递减，则，
则在上递减，故，
当时，在上递减，
则，
所以时，存在x使得，与在上恒成立矛盾，
综上，a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为，上恒成立，应用分类讨论和导数研究恒成立即可.