2023届四川省高三高考专家联测卷（三）数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省高三高考专家联测卷（三）数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数z满足，则z=（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】设，则，，根据复数相等运算求解．
【详解】设，
则，
∵，即
可得，解得
即
故选：C．
2．已知集合，.若.则实数（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】根据并集的定义，结合并集的结果，直接判断结果.
【详解】因为集合，，且，所以.
故选：B
3．在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E企业
B．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个
C．2021年同期C企业的生产总量不超过2000万只
D．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长
【答案】D
【分析】根据统计图表提供的数据求解判断．
【详解】由图可知，增长率最低的是企业，A错；
生产总量从低到高排列为，增速从低到高排列为，两者位居同一位次的和两个，B错；
2021年同期C企业的生产总量为，C错；
从图表知各企业2022年第一季度的生产总量的增长率均为正数，因此生产总量都实现了增长，D正确．
故选：D．
4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：；参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
【答案】C
【分析】根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物所属朝代.
【详解】解：当时，，故，解得，所以，
由题意得，，解得，
而，可推断该文物属于唐.
故选：C．
5．抛物线的准线方程是，则（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程，求准线方程，列等式求.
【详解】由抛物线方程，知，所以，所以，所以.
故选:A
6．已知向量，，则（ ）
A．7B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求.
【详解】由已知，得，则为锐角，
所以，
所以.
故选：A.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cs A＝，则b等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由cs A的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.
【详解】因为cs A＝，所以，
所以
由正弦定理：，得：.
故选：C
8．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出该几何体的直观图后，再去求该几何体外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】依据题给三视图，可得该几何体直观图如下
设M为BD中点，则，，，，平面平面
由，，可知为直角三角形，
又由平面平面，可知三棱锥外接球球心位于直线上，
设三棱锥外接球半径为R，则，解之得
则三棱锥外接球的表面积为
故选：C
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式后然后除以“1”后上下同除以后代入即可得出结果.
【详解】，
故选：B.
10．过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长
【详解】依题意，直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离.又因为圆的半径，所以所求的弦长为，
故选：D.
11．过双曲线的一个焦点F作弦，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】采用特例法设焦点F为右焦点、A在第一象限，求出F、A、B的坐标，利用两点间的距离公式求解即可.
【详解】采用特例法即可求得结果不妨设焦点F为右焦点，则，
令代入双曲线方程得，解得，
当轴时，不妨设A在第一象限，则，，
所以，故.
故选：B
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.
12．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用单调性，分别将和比较，即可得到答案.
【详解】设函数，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即.
又，所以.
故选：D.
二、填空题
13．已知点在不等式组表示的平面区域内运动，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得，向上平移直线，当过点时，取得最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．
三、双空题
14．有一组数据，，…，其平均数为3，方差为2，则新的数据，，…，的平均数为______，方差为______．
【答案】 2； 2.
【分析】根据平均数的公式，结合方差的公式进行求解即可.
【详解】由已知得，
，
所以，
．
故答案为：2；2
四、填空题
15．已知函数，则不等式的解集为______________．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.
故答案为：
16．已知函数，则关于函数性质，下列说法正确的有________．
（1）关于中心对称；（2）的最小正周期为；
（3）关于轴对称；（4）在上有且仅有一个极大值；
（5）是的一个极小值．
【答案】（3）（4）（5）
【分析】根据中心对称检验可判断（1），根据最小正周期检验可判断（2），根据对称性检验可判断（3），运用导数确定单调性可判断（4）、（5）.
【详解】因为，（1）错误；
因为不恒成立，最小正周期不是，（2）错误；
由诱导公式得：，故，（3）正确；
因为，在上，或，，所以在和上单调递增，在上单调递减，，所以（4）正确；并且,所以（5）正确.
故答案为：（3）（4）（5）.
五、解答题
17．在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?
(1)求数列的通项公式:
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选择条件①或选择条件③，根据与的关系，得递推关系式，再求解数列的通项公式即可；选择条件②，根据条件得是隔项等差数列，按照等差数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）得，按照裂项求和之和即可证明不等式成立.
【详解】（1）解：（1）选择①
当时，，
，
两式作差得：，
整理得，
所以为常数列，因此，
所以.
选择②
得，
两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，
当时，，又，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综合得：；
选择③
又，得.
当时，，
两式相减得：，即.
又因为，所以，故为公差为1的等差数列，
得.
（2）证明：由（1）可得
所以
因为
所以
因此.
18．某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．
(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；
(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：
依据小概率值的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．
附：参考公式：
，，其中．
独立性检验临界值表：
【答案】(1)，68人
(2)认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，理由见解析
【分析】（1）利用表中的数据和公式直接求解即可，
（2）先完成列联表，然后利用公式求解，再根据临界值分析判断.
【详解】（1）由表中数据可知：，，
所以，即，
所以，
所求得经验回归方程为．
当时，，
所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．
（2）零假设为：“礼让行人”与驾龄满3年无关，
由题意知列联表为
由表中数据可得
根据小概率值的独立性检验，我们推新不成立，
即认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，
19．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.
【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.
因为平面，所以；
因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，
由题意可得的面积.
因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.
由（1）可知平面，则三棱锥的体积
因为是棱的中点，且，所以，则.
由（1）可知平面,平面 ，则，
从而的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
20．已知的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，设直线与直线的斜率分别为，．
（1）求的值；
（2）设直线交直线于点，证明．
【答案】（1）．（2）见解析
【分析】（1）设，，，，用，的坐标表示出，，再把，两点代入椭圆方程化简得出的值；
（2）根据题意，要证，则只需证：，即证：，通过直线与椭圆方程，写出韦达定理，整理，证出即可.
【详解】解：（1）设，，，，则，
是线段的中点，，，故，
，
，都在椭圆上，
，，
，
，即．
（2）设直线的方程为：，令，则，
所以，联立方程，
解得：，
设，且设，
则有：，
要证，
则只需证：，即证：，
则证：，即证：，
又因为，，
得出：成立，
所以：.
【点睛】本题考查了椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系，运用了设而不求法以及点差法，属于中档题．
21．设m为实数，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根，，证明：．
【答案】(1)当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递增，在上单调递减．
(2).
(3)证明见解析.
【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；
(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.
(3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.
【详解】（1），函数定义域为，
，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．
（2）当时，，
设切点为，，则切线斜率，
切线方程为，，
，，，
令，函数定义域为，，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为
（3）证明：，即，则，
令，函数定义域为，，
，；，
∴在上单调递增，在上单调递减，，
，不妨设，，
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，，
，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，，（1），则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
，，
在上恒成立，
得证．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.
3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.
4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.
【答案】(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的直角坐标方程.
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
【详解】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，
得.
曲线的极坐标方程为，有，
由得曲线的直角坐标方程为.
（2）将(为参数)代入曲线的方程得，，
即.
由于.
故可设，是方程的两个不同的实根，
所以，，
.
23．已知，，，且.
(1)求证：；
(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）对应用基本不等式可证；
（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．
【详解】（1）
，
所以，当且仅当时等号成立
（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，
等价于，
令，
当时，，
当时，，舍去，
当时，，即或.
综上所述，取值范围为.
月份
1
2
3
4
5
6
不“礼让行人”
33
36
40
39
45
53
不“礼让行人”
礼让行人
驾龄不超过3年
18
42
驾龄3年以上
4
36
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不礼让行人
礼让行人
合计
驾龄不超过3年
18
42
60
驾龄3年以上
4
36
40
合计
22
78
100