2023届广东省燕博园高三下学期综合能力数学试题含解析

这是一份2023届广东省燕博园高三下学期综合能力数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由复数的运算结合共轭复数的定义计算即可.
【详解】，则.
故选：B
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式可得集合，再根据交集定义求解.
【详解】由解得，所以，
因为，所以，
所以，
故选:C.
3．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由数量积运算律及向量夹角公式可得，后可得.
【详解】由题可知，，所以，
，则为锐角，得，则.
故选：D
4．某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示．
则以下结论中，错误的是（ ）
A．甲校运动员得分的中位数为8B．甲校运动员得分的平均数小于8
C．乙校运动员得分的75%分位数为10D．甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差
【答案】D
【分析】先计算出甲校派出的10名运动员参赛成绩的中位数，平均数和标准差； 再计算出乙校派出的10名运动员参赛成绩的75%分位数，平均数和标准差即可;
【详解】甲校派出的10名运动员参赛成绩：
中位数为：，平均数为：，标准差为：.
乙校派出的10名运动员参赛成绩分别为：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，则其
平均数为：，75%分位数为：，
标准差为：.
由以上数据得知：D错误.
故选：D
5．已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件确定点的位置特征，由此列不等式求的范围.
【详解】设圆心的坐标为，
因为经过点，半径为1，
所以，故点在圆上，
又直线是的一条对称轴，
所以，故点在直线上
所以圆与直线有交点，
所以，
所以，所以，
所以k的最大值为，
故选：D.
6．若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在区间上是减函数，对进行分类讨论，再分别解之即可.
【详解】函数是区间上的减函数，则
①当时，则，则由得，故，则无解.
②当时，则，则由得，故 ，则有.
综上①②知：.
故选：B
7．已知四棱锥的五个顶点都在球面O上，底面ABCD是边长为4的正方形，平面平面ABCD，且，则球面O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，取中点为E，三角形外接圆圆心为，正方形ABCD外接圆圆心为，过做平面，底面ABCD垂线，则两垂线交点为四棱锥外切球球心O.由题目条件，可证得四边形为矩形，设外接球半径为R，则.后可得答案.
【详解】如图，取中点为E，三角形外接圆圆心为，正方形ABCD外接圆圆心为，过作平面，底面ABCD垂线，则两垂线交点为四棱锥外接球球心O.
因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面，则平面ABCD.又平面ABCD，则.
因，则四边形为矩形.
设三角形外接圆半径为，则，又则.
则，设外接球半径为R，则，又，
则，则球O表面积为：.
故选：C.
8．已知，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，，利用导数得出其单调性，进而得出大小关系.
【详解】比较b、c只需比较，
设，则，当时，，
即函数在上单调递减，所以，即，
所以，所以.
比较a、b只需比较，
设，则，因为单调递减，
且，所以当时，，
所以在上单调递减.即，，
所以，即.
综上，.
故选：A
二、多选题
9．已知函数的导函数为，则以下结论中，正确的是（ ）
A．是的对称中心B．是增函数
C．是偶函数D．最大值与最小值的和为2
【答案】ACD
【分析】根据函数的解析式、定义域，求解导函数，根据函数对称性、最值、单调性与导函数函数性质逐项判断即可得答案.
【详解】对A，已知函数，则，
所以，因此关于点对称，故A正确；
对B，又，则，所以不是增函数，故B不正确；
对C，又，所以是偶函数，故C正确；
对D，又函数在闭区间上有最值，又关于点对称，所以最大值与最小值的和为2，故D正确.
故选：ACD.
10．已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D.
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，
则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
11．已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（ ）
A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%
B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%
C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%
D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%
【答案】BC
【分析】不妨设共有100名老人，则根据题意作出表格，根据表格数据逐项进项判断即可.
【详解】不妨设共有100名老人，则根据题意可作出如下表格：
所以如果从该养老院随机抽取一位老人，抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%，故选项错误；
抽到的老人需要有人全天全天候陪同的概率为22%，故选项正确；
抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%，故选项正确；
抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为42%，故选项错误，
故选：.
12．已知一个四面体中，任意两条异面的棱，长度相等．则下列结论中，正确的有（ ）
A．该四面体任意两条异面的棱一定垂直
B．该四面体任意两组异面的棱，中点连线围成的四边形都是菱形
C．以该四面体任意两条棱中点为端点的线段，长度小于所有棱长中的最大值
D．该四面体的任何一个面都是锐角三角形
【答案】BCD
【分析】根据题意，将该四面体放置于长方体中，根据图形逐项进行验证即可求解.
【详解】因为四面体中，任意两条异面的棱，长度相等.所以可将该四面体放置于如图所示的长方体中，
由图可知，与不一定垂直，故选项A错误；
两组异面的棱的中点为长方体相对的面的中心，由图可知四边形为菱形，故选项B正确；
以该四面体任意两条棱中点为端点的线段的长度，为长方体的棱长，而四面体的棱长为，，，所以以该四面体任意两条棱中点为端点的线段，长度小于所有棱长中的最大值，故选项C正确；
如图，，，，则，所以为锐角，同理可证为锐角，为锐角， 所以为锐角三角形，同理可证该四面体的任何一个面都是锐角三角形，故选项D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13．在展开式中，的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意可得，然后由的展开式通项即可得到结果.
【详解】因为，
且的展开式通项为，
所以的系数是与展开式中的项的乘积的和，
所以有，
故答案为:
14．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点的直线交该抛物线于两点，则直线与直线的斜率之和为________．
【答案】
【分析】过分别作轴与准线的垂线，利用直角三角形的边角关系以及直线斜率与倾斜角的关系，即可得直线与直线的斜率之和.
【详解】如图，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，连接，
则，
，
因为，所以，即.
故答案为：.
15．如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）
【答案】16
【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出图形的周长,从而求出n的值.
【详解】由题意可知，图形的边长为1，图形的边长为上一个图形边长的，图形的边长又是上一个图形边长的，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，
所以图形的边长为，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以图形的边数为，
所以图形的周长为，
即，所以 ;
故答案为：16.
16．曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.
四、解答题
17．已知中，内角的对边分别为，且，，．
(1)求；
(2)若与在同一个平面内，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过作边上的高，其中为垂足，分析可得，由及直角三角形的三边关系，可得，即可得的值；
（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，设，结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换可得，利用正弦型三角函数的性质即可得的最大值．
【详解】（1）因为，，所以为锐角，则如图，过作边上的高，其中为垂足，在线段上，
因为，，所以为等腰直角三角形，则，
又，所以从可知，所以，
所以.
（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，此时设，则，则，
因此在中，由正弦定理得：，
所以，
因此由余弦定理得：
，
故当时，取得最大值，由此可得，因此的最大值为．
18．已知甲、乙两地区2016年至2022年这七年某产业收入（亿元）的数据如下图所示．
(1)如果从甲、乙两地的这七年收入中各随机抽取一年的收入，求抽得的甲地收入大于乙地收入的概率；
(2)利用统计模型估计该产业2023年乙地收入会比甲地收入多多少亿元．
附：回归系数、回归方程的截距计算公式：，
【答案】(1)；
(2)6.3；
【分析】（1）随机抽样的概率问题.
（2）根据题中所给数据，利用最小二乘法求出，即可得解；将代入（1）中回归方程，即可得解.
【详解】（1）记 从甲、乙两地的这七年收入中各随机抽取一年的收入为事件A；
记抽得的甲地收入大于乙地收入为事件B；
则事件A有种；事件B有14种，
故
（2）由题中统计表得，
，
所以
，
则，
;
所以甲地：y关于x的线性回归方程为；代入（2023年）
由题中统计表得；
；
所以
则
；
所以乙地：y关于x的线性回归方程为；代入（2023年）
故估计2023年乙地收入会比甲地收入多6.3亿元.
19．如图，已知平行六面体中，所有棱长均为2，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，点P为的中点，且．
(1)求证：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)由证，又，从而得证；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得正弦值.
【详解】（1）因为四边形是平行四边形，又点P为的中点，且，
所以,
又，
所以，即
因为侧面是矩形，所以
又平面
所以平面
（2）由(1)可知，平面，又
所以两两垂直，
如图以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以
设平面的一个法向量
因为
所以，令则
所以平面的一个法向量；
设平面的一个法向量
因为
所以，令则
所以平面的一个法向量.
记二面角的平面角为，
所以，
故二面角的正弦值
20．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，后由可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，，后由数学归纳法可证明结论.
【详解】（1）由题，时，有，则
，
则.
注意到，则.
（2）由（1）可得，则
当时，.
故所证结论相当于，，.
当时，结论显然成立；
假设时，结论成立，则，
当时，因，，则.
综上，结论成立.
21．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程，即可证得线与椭圆相交于两点，设交点，得直线的方程为，代入椭圆方程，整理成关于的一元二次方程，即可证明的连线都是椭圆的切线；
（2）根据四点共线，要证即证，设，不妨设，则证明转化为，设直线的方程为，联立直线与直线，直线与椭圆，利用坐标关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，因此，则椭圆方程为：
因为由消去可得，，
则该方程有两个不相等的实根，所以直线与椭圆相交于两点；
设为直线与椭圆的交点，则，，
直线的方程为，即，代入椭圆方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是椭圆的切线.
（2）因为四点共线，由（1）可知在线段外，在线段内，所以与的方向相同，与的方向相同，
要证，只需要，即证，
设，不妨设，
因为四点共线，所以等价于，即，
显然，
设直线的方程为，即，
由，可得；
由可得，
从而可知，
因此
，
所以结论成立.
22．已知函数．
(1)当时，求函数的极值点的个数；
(2)当a，b，时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)函数的极值点个数为.
(2)
【分析】（1）求导，利用导数结合零点存在性定理得出函数的单调性，进而得出极值点个数；
（2）当时，由的单调性得出，当时，取，利用单调性得出，由此得出，并与已知矛盾，进而得出m的取值范围．
【详解】（1），令，得.
当时，因为，所以，，
即函数在上单调递减.
当时，令，，所以是增函数.
，
因为，所以，
所以存在唯一，使得，所以.
即，；当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点.
综上所述，函数的极值点个数为.
（2）当时，，所以，
所以函数在上单调递增.
因为，所以，即.
所以.
同理可得
所以.
所以.
当时，由（1）可知，在上存在唯一的零点，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
取，则，
即.
同理可得.
所以，与已知矛盾.
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：求函数的极值点的一般步骤：（1）求或二阶导数；（2）求出导数的零点；（3）利用导数的正负判断函数的单调性；（4）确定函数的极值点.
需要陪同
不需要陪同
合计
75岁及以上
18
42
60
75岁以下
4
36
40
合计
22
78
100