2023届广西梧州市藤县第六中学高三上学期热身考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届广西梧州市藤县第六中学高三上学期热身考试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则A中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由得,取整数，将A中元素一一列举，可得A中元素个数.
【详解】，选D．
【点睛】本题考查集合的表示形式，考查三种形式列举法、描述法、文氏图相互转换，属于基本题.
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先对复数化简，从而可得其共轭复数，进而可得答案
【详解】解：因为，
所以，
所以对应的点位于第四象限，
故选：D
3．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原命题和它的逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可.
【详解】原命题：若，则是真命题，它的逆否命题为真命题，
逆命题为：若，则为假命题．否命题为假命题，
所以在三个命题中真命题的个数是，
故选：B．
4．在区间上任取一个数x，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何概型的方法，求得区间在内的长度与区间的长度比即可
【详解】由题意，在区间上任取一个数x，则的概率为
故选：B
5．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
6．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出可行域，然后利用为的截距，然后计算最小值即可.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域，
由可得
则为直线在轴上的截距，截距越小，越小
作直线：，然后把直线向可行域方向平移，当经过点时，最小
由可得，此时，
故选：C
7．执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.
【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.
8．新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（ ）
A．43B．45C．47D．49
【答案】C
【解析】根据指数函数的性质列出函数解析式，然后解相应的不等式即可得．
【详解】设为天后感染的总人数，则，
由已知得，两边取对数化简得，
所以.
因为取正整数，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数､对数函数的运算，考查数学运算核心素养.
9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解即可
【详解】因为在上为减函数，且，
所以，即，
因为在上为减函数，且，
所以，即，
因为（）在上为减函数，且，
所以，即，
所以，
故选：B
10．已知函数，对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性即可求解.
【详解】由任意，都有可知函数在上单调递增，
故有得．
故选：D
11．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为，正方体的棱长为，在直角中，由勾股定理，得，求得球的半径，利用体积公式，即可求解.
【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示，
设球的半径为，正方体的棱长为，那么，
在直角中，由勾股定理，得,
即，解得，
所以半球的体积为，
正方体的体积为，
所以半球与正方体的体积比为，故选B.
【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.
12．已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于A、B两点在渐近线上，可设出两点坐标为 的面积为 ，代入可得，又由，表示出P点坐标，把P点坐标代入双曲线方程又可得，
从而可解得值.
【详解】
可设
的面积为
由题意可得，解得① ，由，可得 即为 代入双曲线的方程，可得，化简得，②，由①②解得 ，所以.
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的性质，解题时把的面积转化为向量表示，目的是用两点的坐标表示面积，求出两点坐标与面积的一个关系式，由容易联想到三点间坐标关系，而把P点坐标代入双曲线方程是解题的常用方法，这样本题的这种解法就确定了.
二、填空题
13．已知向量，且，则_______.
【答案】2
【详解】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
14．等差数列中，若，则__________．
【答案】27
【详解】由等差数列可得: ,解得;,解得;因此,
故答案为：27.
15．已知抛物线，O为原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线两点，满足，过原点O作交AB于点D，当点D的坐标为，则p的值为_________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】直线OD的斜率为，而，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，
由消去x并整理得：，设，则，
因，则，解得，
所以p的值为.
故答案为：
16．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的判别式为：，
若，此时函数的零点为，符合题意；
当时，只需，所以且；
当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意；
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
17．的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点为边的中点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.
(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.
【详解】（1）由,
可得,
由余弦定理可得,
故.
（2）因为为的中线,所以,
两边同时平方可得,
故.
因为,所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.
18．第二十二届世界杯足球赛于年在卡塔尔举行，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况某机构对某社区群众观看足球比赛的情况进行调查，将观看过本次世界杯足球赛至少场的人称为“足球迷”，否则称为“非足球迷”从调查结果中随机抽取份进行分析，得到数据如下表所示：
(1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“足球迷”与性别有关
(2)现从抽取的“足球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，求抽取的人都为“男足球迷”的概率．
附：，
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为是否为“足球迷”与性别有关．
(2)
【分析】(1)由列联表，求即可得解；
(2)利用分层抽取的人中，列出从人中抽取人的种数和抽取的人都为男足球迷的种数，即可解答．
【详解】（1）列联表如下：
，
没有的把握认为是否为“足球迷”与性别有关．
（2）从抽取的“足球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，
这人中男“足球迷”有人设为，，，，女“足球迷”有人设为，，
从人中抽取人有，，，，，，，，，，，，，，共种，
记事件为“抽取的人都为男足球迷”，
则包含有，，，，，共种情况，
所以．
19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.
【详解】（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）在菱形中，为中点，所以，
根据题意有，，
因为棱柱为直棱柱，所以有平面，
所以，所以，
设点C到平面的距离为，
根据题意有，则有，
解得，
所以点C到平面的距离为.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
20．已知离心率为的椭圆（）过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点，且，，求直线AB的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得以及，解方程组即可求出结果；
（2）设设点，根据题意可得以及，两式相减即可求出结果.
【详解】（1）依题意，．
又在椭圆E上，有，所以．
因此，椭圆E的标准方程为；
（2）设点，则由可得．
由A、C两点在椭圆E上，有
两式相减得，即①
同理可得②
①-②得，即，
因此直线AB的斜率为．
21．已知函数在处的切线与轴平行.
(1)求的值；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，得到；
（2）令，则问题转化为与轴有三个交点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】（1）解：因为，所以，
在处的切线与轴平行，
，解得．
（2）解：令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点，
由，解得或；
由，解得．
在时取得极大值；在时取得极小值．
故，
．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
(2)设，曲线，的交点为A，，求的值.
【答案】(1)，：；
(2)6
【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）化直角方程为标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理求解．
【详解】（1）由消去参数得，即为的普通方程，
，，平方整理得，即为的直角坐标方程；
（2）曲线为直线，其标准参数方程为（为参数），代入的直角坐标方程并化简得，
对应的参数分别为，则，
所以．
23．已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
【解析】不等式选讲.
足球迷
非足球迷
总计
男
女
总计
足球迷
非足球迷
总计
男
20
6
26
女
10
14
24
总计
30
20
50