数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数同步练习题

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数同步练习题，共13页。试卷主要包含了 求下列各式的值， 求值， 计算下列各式， 用根式的形式表示下列各式等内容，欢迎下载使用。
第四章  指数函数与对数函数1. 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.【详解】（1）；（2）；（3）；   （4）.【点睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.2. 求值：；【答案】4；【解析】【分析】根据指数的运算法则：求值，注意运算过程中应用、简化运算【详解】【点睛】本题考查了指数运算；运用指数运算法则化简求值3. 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】将根式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律可将（1）（2）中的代数式表示为的分数指数幂的形式.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查根式与指数幂的互化，同时也涉及了指数幂的运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.4. 计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.【详解】（1）；（2）；（3）【点睛】本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.5. 用根式的形式表示下列各式（）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的分数指数幂化为根式的形式.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查将分数指数幂化为根式，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6. 用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的根式化为分数指数幂的形式.【详解】（1）当时，；（2）当时，，则；（3）当时，；（4）当时，.【点睛】本题考查将根式化为分数指数幂，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.7. 计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）将各数化为和的指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；（3）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（4）利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.8. 计算下列各式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.9. 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势；（2）取正实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的的值，观察变化趋势.【答案】（1）取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时，趋向于，值见解析；（2）取正实数，使得的值逐渐增大，当的值趋向于无穷大时，的值趋向于，值见解析.【解析】【分析】（1）分别取的值、、、、、、、、、、，利用计算器计算出对应的的值，列出表格，即可得出规律；（2）分别取的值、、、、、、、、、、，利用计算器计算出对应的的值，列出表格，即可得出规律.【详解】（1）…0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.000980.0002440.0000305…由此可以看出，取负实数，使得的值逐渐增大并趋向于无穷大时，趋向于；（2）…0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.000980.0002440.0000305… 由此可以看出，取正实数，使得的值逐渐增大，当的值趋向于无穷大时，的值趋向于.【点睛】本题考查指数幂的值的变化规律，计算时可充分利用表格的形式将数据呈现出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10. 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）100；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）根据偶次根式运算法则可得；（2）根据奇数次根式化简运算可得；（3）根据偶次根式化简法则，考虑即可得解；（4）根据偶次根式化简法则，考虑符号不确定，加绝对值即可得解.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号.一、选择题11. 设，则下列运算中正确的是（    ）.A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用幂的运算性质一一计算即可.【详解】根据幂的运算性质可得：，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.12. 设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（    ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A【解析】【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴，正确，显然a0＝1，正确，而，∴正确，故选：A．二、填空题13. 在，，，中最大的数是：___________；【答案】【解析】【分析】可看出，且，然后根据指数函数的单调性即可得出最大的数．【详解】解：，，最大的数是．故答案为：．14. 按从小到大的顺序，可将重新排列为_________（可用计算工具）.【答案】【解析】【分析】利用计算器算出每个指数幂的值，即可进行比较.【详解】利用计算器，所以.故答案为：【点睛】此题考查指数幂的大小比较，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性处理．15. 用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）1；（2）；（3）1.【解析】【分析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；（2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；（3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值.16. 计算下列各式（式中字母均为正数）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）·【解析】【分析】（1）同底指数幂相乘，底数不变，指数相加；（2）根据指数幂运算法则得，化简即可；（3）根据指数幂运算法则求值；（4）根据指数幂的运算法则求值即可.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【点睛】此题考查指数幂的运算法则，同底指数幂的乘法和除法运算，关键在于熟练掌握运算法则准确求解.17. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成_____________个.【答案】64【解析】【分析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.【详解】由题：细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），经过1h可分裂6次，可分裂成（个）.故答案为：64【点睛】此题考查利用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题.18. （1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.19. 已知，求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）7；（2）47.【解析】【分析】（1）对等式两边同时平方即可得解；（2）根据（1）对两边同时平方即可得解.【详解】（1），∴两边平方得..（2）由（1）知，两边平方得.【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.20. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，根据比例关系即可求解；（2）结合第（1）问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，即可得解.【详解】（1）倒出1次后还剩，加满水后浓度为.倒出2次后还剩，加满水后浓度为.倒出3次后逐剩，加满水后浓度为.倒出4次后还剩，加满水后浓度为.倒出5次后还剩.（2）由（1）知，连续进行了n次，容器中的线酒精还剩下.【点睛】此题考查利用指数性质解实际应用题，关键在于建立恰当的函数模型求解.21. （1）当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算的值；（2）当n越来越大时，的底数越来越小，而指数越来越大，那么是否也会越来越大？有没有最大值？【答案】（1）见解析；（2）是，没有.【解析】【分析】（1）利用计算器依次计算求值；（2）根据（1）的计算结果分析，越来越大，没有最大值.【详解】（1）；；；；.（2）由（1）知，当n越来越大时，的值也会越来越大，但没有最大值.【点睛】此题考查利用计算机计算指数幂的值，根据指数幂的大小关系分析代数式的变化趋势，和最值的情况，体现了根据有限的事实与类比无限的思想.