高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数复习练习题，共20页。试卷主要包含了4 对数函数等内容，欢迎下载使用。
第四章  指数函数与对数函数4．4  对数函数4.4例1  求下列函数的定义域：（1）；（2）（，且）.解：（1）因为，即，所以函数的定义域是.（2）因为，即，所以函数的定义域是.例2  假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x.（1）该地物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.物价x12345678910年数y0         解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为，即（）.由对数与指数间的关系，可得，.由计算工具可得，当时，.所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.（2）根据函数，，利用计算工具，可得下表：物价x12345678910年数y0142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.例3  比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），；（3），（，且）.解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.（3）和可看作函数两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.当时，因为函数是增函数，且，所以；当时，因为函数是减函数，且，所以.例4  溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.解：（1）根据对数的运算性质，有.在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.（2）当时，.所以，纯净水的是7.练习1. 求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）    （2）    （3）    （4）【解析】【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（2）利用对数的真数大于零、分母不为零可求得原函数的定义域；（3）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（4）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【小问1详解】解：对于函数，有，解得，故函数的定义域为.【小问2详解】解：对于函数，有，解得且，故函数的定义域为.【小问3详解】解：对于函数，有，解得，故函数的定义域为.【小问4详解】解：对于函数，有，解得，故函数的定义域为.2. 画出下列函数的图象：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）化简为，，再作图．（2）化简为，，再作图．【详解】（1），图象如图（2），图象如图.【点睛】本题考查作函数图象，解题时需先化简函数解析式，同时要注意函数的定义域．3. 已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________.①；②；③；④.【答案】①③【解析】【分析】验证按照这个函数关系是定义域，是值域，或是定义域，是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同．【详解】①当时，的值域为B.②当时，，但.③当时，的值域为A.④当时，.∴能体现A，B对应关系的是①③.故答案为：①③【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题．4．4．2  对数函数的图象和性质练习4. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】由取同一个值时，对应的值是相反数说明两函数图象关于轴对称．【详解】图象如图.相同点：两图象都位于轴的右侧，都经过点，这说明两函数的定义域都是；两函数的值域都是.不同点：的图象是上升曲线，的图象是下降曲线，这说明前者在定义域上是增函数，后者在定义域上是减函数.由于，所以两函数图象关于轴对称．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质．属于基础题．5. 比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）当时，，当时，．【解析】【分析】（1）由函数的单调性确定；（2）由函数的单调性确定；（3）分类讨论，分和．【详解】（1）为增函数，.（2）为减函数，.（3）当时，为增函数. .当时，为减函数. .【点睛】本题考查对数函数的单调性，掌握对数函数单调性是解题基础．6. 某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？【答案】（1）；（2）约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.【解析】【分析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域；（2）由，求，可取对数计算．【详解】（1）由题意.（2）令，得，∴约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算．4．4．3  不同函数增长的差异练习7. 三个变量随变量变化的数据如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155其中关于呈指数增长的变量是_____【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质得到答案.【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长.从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化.故答案为：8. （1）（2）（3）分别是函数和在不同范围的图象，借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到0.01）.（1） （2） （3）【答案】【解析】【分析】从图象可以看出，有两个解，一个在上，一个在上，可用二分法求解．【详解】记，计算，，，，，，，，近似解取，，，，，，近似解取，故估算范围是【点睛】本题考查指数函数的图象，考查二分法求近似解．属于基础题．9. 如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，求一次函数的解析式.【答案】【解析】【分析】由对数函数求出两点的坐标，然后设，代入两点的坐标，可得．【详解】由题意.设，则.【点睛】本题考查对数函数，考查待定系数法求函数解析式．属于基础题．10. 函数的图象如图所示，则可能是（    ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用排除法，由函数值如，排除B，排除A，D是一次函数也排除，只有C符合．【详解】由图象过知B不正确，由知A不正确，由图象为曲线知D不正确，所以应选C.故答案为：C【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．习题  4．4复习巩固11. 求下列函数的定义域:(1);(2).【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)根据对数中真数大于0求解即可.(2)根据根号下大于等于0与对数的定义域求解即可.【详解】解:(1)由条件知,故定义域为.(2)由条件知,即.故此函数的定义域为.【点睛】本题主要考查了定义域的运算与对数不等式的求解,属于基础题.12. 比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:(1);(2);(3);(4).【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】【分析】(1)根据为增函数判定即可.(2)根据为减函数判定即可.(3)根据为减函数判定即可.(4)根据为增函数判定即可.【详解】(1)因为为增函数,故；(2)因为为减函数,故；(3)因为为减函数,故；(4)因为为增函数,故；【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性判断大小关系的方法,属于基础题.13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？【答案】【解析】【分析】由即可解出．【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．14. 函数，，的图象如图所示，（1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；（2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；（3）从（2）的图中你发现了什么？【答案】（1）答案见解析    （2）答案见解析    （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可；（2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可；（3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可.【小问1详解】当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数.【小问2详解】.【小问3详解】从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称.15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:)可以表示为,其中 O表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)代入计算即可.(2)静止时,再代入公式计算即可.【详解】解:(1)当时,.(2)当时,.【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,属于基础题.16. 在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【详解】解：在在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B．故选：B．综合运用17. 判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:(1);(2).【答案】(1)互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.(2)互为反函数.的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.【解析】【分析】根据反函数的求解方法判断分析即可.【详解】(1)求的反函数有.故,且互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.(2)求的反函数有.故互为反函数.的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.18. 设表示某学校男生身高为时平均体重为,(1)如果函数的反函数是,那么表示什么?(2)如果,那么求,并说明其实际意义.【答案】(1)表示该校男生体重为时,平均身高为.(2).说明该校某男生身高为170cm时,体重为.说明该校某男生体重为时,身高为170cm.【解析】【分析】(1)根据表示某学校男生身高为时平均体重为,反过来判定反函数表达的意义即可.(2)根据(1)中的函数意义辨析即可.【详解】(1)因为表示某学校男生身高为时平均体重为,则其反函数自变量与因变量交换,即表示该校男生体重为时,平均身高为.(2)由(1)可得.且说明该校某男生身高为170cm时,体重为.说明该校某男生体重为时,身高为170cm.【点睛】本题主要考查了反函数的实际意义辨析,属于基础题.19. 某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年?【答案】4年【解析】【分析】根据题意设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,再求解即可.【详解】解:设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,即.∴大约需要4年.【点睛】本题主要考查了指数函数的模型运用与对数的运算,属于基础题.20. 声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分别代入与求解即可.(2)代入求解即可.【详解】解:(1)..因此人听觉的声强级范围为.(2).【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.21. 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.05101520万元20 40  万元20 40  （1）求函数的解析式;（2）求函数的解析式；（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,由,,可得,即.（2）因为是按指数增长的房价,设,由,可得,即.（3）由（1）和（2）,当时,；当时,；当时,,则表格如下:05101520万元2030405060万元204080则图像为:根据表格和图像可知:房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力拓广探索22. 已知，，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】解:,当时成立；②当时，解得．又,∴a的取值范围是．23. 比较下列各题中三个值的大小:(1);(2).【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.【详解】解:(1) 因为,且,故(2),同理可证.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.