高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课时练习，共35页。试卷主要包含了4三角函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
第五章三角函数
5.4三角函数的图象与性质
例1画出下列函数的简图：
（1），；
（2），.
解：（1）按五个关键点列表：
x
0





0
1
0
-1
0

1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：

（2）按五个关键点列表：
x
0





1
0
-1
0
1

-1
0
1
0
-1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：

例2求下列函数的周期：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期.
对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，；
对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，.
解：（1），有.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（2）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以，.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（3）令，由得，且的周期为，即，
于是，
所以.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x的集合，并求出最大值､最小值.
（1），；
（2），；
解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值
（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合；
使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合.
函数，的最大值是；最小值是.
（2）令，使函数，取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合.
由，得.所以，使函数，取得最大值的x的集合是.
同理，使函数，取得最小值的x的集合是.
函数，的最大值是3，最小值是-3.
例4不通过求值，比较下列各组数大小：
（1）与；
（2）与.
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为，
正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），
.
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即.
例5求函数，的单调递增区间.
分析：令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
解：令，，则.
因为，的单调递增区间是，且由，
得.
所以，函数，的单调递增区间是.
例6求函数的定义域､周期及单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量x的取值应满足，，
即，.
所以，函数的定义域.
设，又，
所以，
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2
由，解得，.
因此，函数在区间，上都单调递增.
5.4.1正弦函数､余弦函数的图象
练习
1. 在同一直角坐标系中,画出函数,,,的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.
【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.

【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.
2. 用五点法分别画下列函数在上的图象:
(1);
(2).
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.
【详解】解:
x


0



0
1
0
-1
0

3
2
1
2
3


【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.
3. 想一想函数与的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分析可知当时与的图象相同,当时, 与的图象关于轴对称,再分析即可.
【详解】解:把的图象在轴下方的部分翻折到x轴上方,连同原来在x轴上方的部分就是的图象,如图所示.

【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.
4. 函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 E. 4个
【答案】ABC
【解析】
【分析】画出在的图象，即可根据图象得出.
【详解】画出在的图象如下：
则可得当或时，与的交点个数为0；
当或时，与的交点个数为1；
当时，与的交点个数为2.
故选：ABC.

5.4.2正弦函数､余弦函数的性质
练习
5. 等式是否成立?如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期?为什么?
【答案】见解析
【解析】
【分析】
成立，再利用函数的周期的定义说明不能说是正弦函数,的一个周期.
【详解】等式成立,但不能说是正弦函数,的一个周期.
因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函数,的一个周期.
【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
【答案】(1)周期为.见解析(2)周期为.见解析(3)周期为.见解析(4)周期为.见解析
【解析】
【分析】
利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.
【详解】解:(1)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：

(2)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：

(3)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：

(4)因为,
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为.函数的图象如图所示：

【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7. 下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数?
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】(1),函数的定义域为R， ，
所以函数是奇函数；
(2)，函数的定义域为R，，
所以函数是偶函数；
(3)，函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数；
(4)，函数的定义域为R，
所以函数是奇函数.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8. 设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值.
【答案】,
【解析】
【分析】
直接利用函数的周期求解.
【详解】解:由题意可知,;
.
【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
练习
9. 观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x所在的区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1);
(2);
(3);
(4)
【解析】
【分析】
观察正弦曲线和余弦曲线得解.
【详解】(1),观察正弦曲线得；
(2)，观察正弦曲线得；
(3)，观察余弦曲线得；
(4)，观察余弦曲线得.
【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.
(1),;
(2),.
【答案】(1)当时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2.
(2)当时,函数取得最大值3;当时,函数取得最小值1.
【解析】
【分析】
（1）利用取得最大值和最小值的集合与正弦函数取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用取得最大值和最小值的集合与余弦函数取最小值最大值的集合是一致的求解.
【详解】（1）当即时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2；
(2)当即即时,函数取得最大值3;
当即即当时,函数取得最小值1.
【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11. 下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是.
A. 在上单调递增,在上单调递减
B. 在上单调递增,在上单调递减
C. 在及上单调递增,在上单调递减
D. 在上单调递增,在及上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦函数的单调性分析判断得解.
【详解】因为,，
所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同，
所以函数在及上单调递增,在上单调递减.
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12. 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与;
(2)与.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）利用在内为减函数判断它们的大小；（2）利用在内为减函数判断它们的大小.
【详解】解:(1),∵,且在内为减函数,
∴,即.
(2)∵,且在内为减函数,
∴.
【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13. 求函数的单调递减区间．
【答案】和.
【解析】
【分析】根据正弦型函数的性质有时函数单调递减，即可求出的递减区间，进而讨论k值确定上的递减区间即可.
【详解】∵上单调递减，
∴上单调递减，
当：；当：；
∴、为的单调递减区间.
5.4.3正切函数的性质与图象
练习
14. 借助函数的图象解不等式，.
【答案】
【解析】
【分析】
画出和的图象，观察图象即可.
【详解】在同一坐标系中画出和的图象，如下：

当时，，
由图象可知不等式的解集为.
【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.
15. 观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
【分析】画出的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.
【详解】
（1）：；
（2）：；
（3）：；
16. 求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】
令，解出x的范围即可求得定义域.
【详解】令，得，
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.
17. 求下列函数的周期：
（1），；（2），.
【答案】（1）周期为（2）周期为
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式，得，即，问题得解；
（2）由诱导公式，得，即，问题得解；
【详解】（1）令，因为，
所以函数，的周期为.
（2）令，因为，
所以函数，的周期为.
【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.
18. 不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）与；
（2）与
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据在的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据在的单调性进行比较，得到答案.
【详解】解：（1），
且在内为增函数，
.
（2），
，
，
且在内为增函数，
，故.
【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.
习题5.4
复习巩固
19. 画出下列函数的简图：
（1）；
（2）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据五点作图法作图法作图；
（2）根据五点作图法作图法作图.
【详解】解：（1）







1
0
1
2
1
描点连线得如图①，

（2）







4
1

1
4
描点连线得如图②.

【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.
20. 求下列函数的周期：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】利用正余弦的性质，结合可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.
【详解】（1）由题设知：，故最小正周期为，即的周期为；
（2）由题设知：，故最小正周期为，即的周期为；
21. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.
【解析】
【分析】
（1）根据奇偶性定义进行判断；
（2）根据奇偶性定义进行判断；
（3）根据奇偶性定义进行判断；
（4）根据奇偶性定义进行判断；
【详解】（1）定义域为R,且，所以是偶函数；
（2）定义域为R,且，所以是偶函数；
（3）定义域为R,且，所以是奇函数；
（4）定义域为,
但，所以既不是奇函数，也不是偶函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.
22. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）；
（2）.
（3）；
（4）.
【答案】（1）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（2）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（3）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
（4）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是.
【解析】
【分析】
（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；
（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.
【详解】（1）由得使y取得最大值的x的集合是；
由使y取得最小值的x的集合是.
（2）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
（3）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
（4）由得使y取得最大值的x的集合是；
由得使y取得最小值的x的集合是.
【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
23. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与；
（2）与.
（3）与；
（4）与.
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数单调性判断大小；
（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；
（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；
（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.
【详解】解：（1），且在内为减函数，.
（2）.
，且在内为减函数.
，即.
（3）.
，且在内为减函数，
，即.
（4），.
，且在内为减函数，
，即.
【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
24. 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为.（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数单调性求单调区间；
（2）根据余弦函数单调性求单调区间
【详解】（1）当时； 单调递增；
因为，所以单调递增区间为；
当时； 单调递减；
因为，所以单调递减区间为；
（2）当时； 单调递增；
因为，所以单调递增区间为；
当时； 单调递减；
因为，所以单调递减区间为.
【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.
25. 求函数的定义域.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正切函数性质列式求解，即得结果.
【详解】解：由，得，
∴原函数的定义域为.
【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
26. 求函数的周期.
【答案】
【解析】
【分析】
根据周期定义或正切函数周期公式求解.
【详解】解法一：
∴所求函数的周期为.
解法二：所求函数的周期.
【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.
27. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【分析】
（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；
（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小
【详解】解：（1）.
，且在上为增函数，
.
（2），
.
，且在上为增函数，
，即.
（3）.
，且在上为增函数，
，即.
（4）.
，且在上为增函数，
，即.
【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
综合运用
28. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数单调性求值域；
（2）根据余弦函数单调性求值域.
【详解】（1）当时单调递增，；
当时单调递减，；
因此的值域为；
（2）当时，，单调递减，；
因此的值域为；
【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.
29. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；
（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.
【详解】（1）
所以成立的x的取值集合为
（2）

所以成立的x的取值集合为
【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
30. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递减；
故选：A
【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
31. 若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；
（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.
【详解】（1）
，即所求集合为；
（2））
，即所求集合为
【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
32. 求函数的单调区间.
【答案】单调递减区间为；无单调递增区间.
【解析】
【分析】
根据正切函数单调性列不等式，解得结果.
【详解】当时， 单调递减，
即
所以的单调递减区间为；无单调递增区间.
【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
33. 已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.
【详解】解：由题意可得，
.
.
【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
34. 已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1） （2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数周期公式求解；
（2）根据正弦函数单调性求最值.
【详解】解：（1）最小正周期为.
（2），
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
拓广探索
35. 在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
【答案】，图象见解析
【解析】
【分析】
根据三角函数定义可得点B的纵坐标y关于x的函数解析式，利用五点作图法可画图.
【详解】解：三角函数定义可得，







0
2
0
-2
0

描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：

【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.
36. 已知周期函数的图象如图所示，

（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
【答案】（1）.（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；
（2）把向左平移一个单位得的图象；
（3）根据一次函数解析式得在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.
【详解】解：（1）.
（2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示

（3）
所以.
【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
37. 容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.
【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为.
能.
由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为，对称轴的方程是，
正切曲线的对称中心坐标为，正切曲线不是轴对称图形.
【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.