2021年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷

这是一份2021年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分） 的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOC＝140°，则∠AOE的度数等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C．a D．﹣a
5．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0），以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点A的对应点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿y轴向上平移m个单位后，所得直线与y＝x+4关于y轴对称，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图所示的图案中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，按此规律排列下去，第30个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　）

A．91个 B．92个 C．93个 D．94个
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，点E为BC的中点，点F为CD上一点，连接AE、AC、AF，若∠EAF＝60°，则图中全等的三角形有（　　）

A．7对 B．6对 C．4对 D．3对
9．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （　　）

A． B． C． D．
10．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数　 　．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 　 　．

13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 　 　．
14．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，，直线l将矩形ABCD的面积分成相等的两部分，过点A作直线l的垂线，垂足为P，连接BP，则BP的最小值为 　 　．

三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：+（π﹣3.14）0+tan60°．
16．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，过点A作AE∥BD，且AE＝BD，连接BE、DE，求证：AB＝DE．

19．（7分）受疫情持续向好、假期时间增长、高速通行免费等因素的影响，2021年“五一”小长假成为了“史上最“热’五一小长假”，旺盛的出游需求让今年小长假旅游消费市场十分火爆．某公司随机抽取了部分员工，就“五一期间旅游消费金额”进行了调查统计，并将调查数据绘制成如下两幅尚不完整的表和图．
组别
五一期间旅游消费金额/千元
人数/人
A
1
2
B
2
3
C
4
8
D
5
m
E
8
2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；
（2）求所调查员工五一期间旅游消费金额的众数和平均数；
（3）已知该公司共有员工150人，请你估计该公司的员工五一期间旅游消费总金额为多少千元？

20．（7分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图

两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
21．（7分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 　 　，点D的坐标为 　 　；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？

22．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
23．（8分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC，如果∠B＝30°，CF＝1，求OC的长．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．

25．（12分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 　 　；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）


2021年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分） 的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【解答】解：﹣的绝对值是|﹣|＝．
故选：B．
2．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOC＝140°，则∠AOE的度数等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
3．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵＝＜＜，
∴选择甲参赛，
故选：A．
4．（3分）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C．a D．﹣a
【解答】解：
＝÷
＝•a（1﹣a）
＝a，
故选：C．
5．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0），以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点A的对应点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵△OAB与△OCD为位似图形，点O为位似中心，位似比为，
而A（4，3），
∴点A的对应点C的坐标为（﹣×4，﹣×3），
即C（﹣，﹣1）．
故选：C．
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿y轴向上平移m个单位后，所得直线与y＝x+4关于y轴对称，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：直线y＝﹣x﹣2沿y轴向上平移m个单位后，得到y＝﹣x﹣2+m，
∵直线y＝x+4关于y轴对称的直线为y＝﹣x+4，
∴﹣2+m＝4，
∴m＝6，
故选：D．
7．（3分）如图所示的图案中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，按此规律排列下去，第30个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　）

A．91个 B．92个 C．93个 D．94个
【解答】解：∵第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为3×1+2＝5个．
第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为3×2+2＝8个．
第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为3×3+2＝11个．
…，
∴第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为：3n+2，
∴第30个图中所贴剪纸“〇”的个数为：3×30+2＝92个．
故选：B．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，点E为BC的中点，点F为CD上一点，连接AE、AC、AF，若∠EAF＝60°，则图中全等的三角形有（　　）

A．7对 B．6对 C．4对 D．3对
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠BAD＝2∠B，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，且△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AB＝BC＝AC＝AD＝CD，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝30°，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∵∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠EAF﹣∠CAE＝30°，
∴∠CAE＝∠CAF，
在△ACE和△ACE中，
，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
同理：△ACF≌△ADF（ASA），
∴△ACF≌△ADF≌△ABE≌△ACE，
∴图中全等的三角形有：△ABE≌△ACE，△ABE≌△ACF，△ABE≌△ADF，△ACE≌△ACF，△ACE≌△ADF，△ACF≌△ADF，△ABC≌△ADC，共7对，
故选：A．
9．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HC，
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
则AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，
∴OH＝＝，
∴AH＝＝，
∴AC＝2AH＝，
∴BC＝AB﹣AC＝，
故选：A．

10．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图象开口向上，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图象开口向下，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数　　．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 　（﹣2，）　．

【解答】解：作FH⊥x轴于H．
∵∠OAF＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠FAH＝60°，∠AFH＝30°，
∵AF＝2，
∴AH＝1，AO＝1，FH＝，
∴HO＝2，
∴点F的坐标为 （﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．

13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 　﹣10　．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴x1y1＝﹣5，x2y2＝﹣5，且x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴2x1y2﹣4x2y1＝﹣2x1y1+4x1y1＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，，直线l将矩形ABCD的面积分成相等的两部分，过点A作直线l的垂线，垂足为P，连接BP，则BP的最小值为 　﹣1　．

【解答】解：如图，连接AC与BD交于点F，作BH⊥AF于H，连接EH．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AF＝BF＝CF＝DF，
∵AB＝2，BC＝2，
∴tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝AB＝2，AH＝HF＝1，BH＝AH＝，
∵直线l将矩形ABCD的面积分成相等的两部分，
∴l必过F点，
∵AP⊥l，
∴∠APF＝90°，
∴PH＝AF＝1，
∴A、P、F三点在以H为圆点，以1为半径的圆上，
∴BE≥BH﹣PH＝﹣1，
当且仅当B、H、P三点共线时，BE取得最小值﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：+（π﹣3.14）0+tan60°．
【解答】解：+（π﹣3.14）0+tan60°
＝﹣3+1+
＝﹣2+．
16．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝40°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠B＝∠BCD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
如图，点D即为所求．

18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，过点A作AE∥BD，且AE＝BD，连接BE、DE，求证：AB＝DE．

【解答】证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形，
∴AB＝DE．
19．（7分）受疫情持续向好、假期时间增长、高速通行免费等因素的影响，2021年“五一”小长假成为了“史上最“热’五一小长假”，旺盛的出游需求让今年小长假旅游消费市场十分火爆．某公司随机抽取了部分员工，就“五一期间旅游消费金额”进行了调查统计，并将调查数据绘制成如下两幅尚不完整的表和图．
组别
五一期间旅游消费金额/千元
人数/人
A
1
2
B
2
3
C
4
8
D
5
m
E
8
2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　5　，n＝　40　；
（2）求所调查员工五一期间旅游消费金额的众数和平均数；
（3）已知该公司共有员工150人，请你估计该公司的员工五一期间旅游消费总金额为多少千元？

【解答】解：（1）由题意可得，总人数为：2÷10%＝20（人），
∴m＝20﹣2﹣3﹣8﹣2＝5；
∴n%＝＝40%，即n＝40．
故答案为：5；40；
（2）所调查员工五一期间旅游消费金额的众数是4；
（1×2+2×3+4×8+5×5+8×2）＝4.05（千元），
即所调查员工五一期间旅游消费金额的平均数是4.05千元；
（3）150×4.05＝607.5（千元），
答：估计该公司的员工五一期间旅游消费总金额大约为607.5千元．
20．（7分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图

两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
【解答】解：连接EF交AB于点G．
∵CE⊥CD，DF⊥CD，CE＝DF，
∴四边形CEFD是矩形．
∴CD＝EF＝17.5米．
∵AB⊥CD，
∴四边形CEGB是矩形．
∴CE＝BG＝1.5米．
在Rt△AGE中，
∵∠AEG＝α＝45°，
∴∠EAG＝45°．
∴AG＝EG．
在Rt△AGF中，
∵∠AFG＝β＝34°，tan∠AFG＝≈，
∴FG＝AG．
∵EG+FG＝EF，
∴AG+AG＝17.5，
∴AG＝7（米）．
∴AB＝AG+GB＝7+1.5＝8.5（米）．
答：这根华表柱的高度为8.5米．

21．（7分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 　12　，点D的坐标为 　（2.5，0）　；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？

【解答】解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，
∴小明的爸爸用的时间为：2400÷96＝25（min），
即OF＝25，
如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2＝kt+b，
∵E（0，2400），F（25，0），
∴b＝2400，25k+b＝0，
解得：b＝2400，k＝﹣96，
∴s2与t之间的函数关系式为：s2＝﹣96t+2400；
当s＝2400时，t＝12，
∴m＝12；
当s＝0时，t＝2.5，
∴D（2.5，0）；
故答案为：12，（2.5，0）；
（2）由图可知小明与爸爸相遇两次，
第一次相遇时在小明去邮局的路上，即图中OA和EF的交点设交点为（m，n）
由（1）知直线EF的函数式为y＝﹣96x+2400，
直线OA经过点O（0，0）和点A（10，2400），
故求得直线OA的函数式为y1＝240x，
因为交点（m，n）在两条直线上
∴，
解得m＝，n＝，
m即为小明与爸爸第一次相遇时所用的时间，
∴这时他们与邮局的距离为96×＝（m），
第二次相遇时是在小明从邮局返回的路上，
如图：小明用了10分钟到邮局，
∴D点的坐标为（22，0），
设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1＝at+c（12≤t≤22），
∴，
解得：a＝﹣240，c＝5280，
∴s1与t之间的函数关系式为：s1＝﹣240t+5280（12≤t≤22），
当s1＝s2时，小明在返回途中追上爸爸，
即﹣96t+2400＝﹣240t+5280，解得：t＝20，
∴s1＝s2＝480，
∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离邮局还有2400﹣480＝1920（m）．
∴小明与爸爸相遇所用的时间是min和20min时，他们离邮局的距离分别为m和1920m．
22．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
【解答】解：（1）∵甲校摸球结束，即可确定自己获胜，
∴甲校摸出的一个球是红球，
∵袋子中有4个球，只有1个是红球，
∴甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率是；
（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球中有一个是红球是情况是6种，摸出的两个球中没有红球的情况是6种，
∴P（甲校获胜）＝P（乙校获胜）＝，
∴这个游戏规则对甲、乙两所学校是公平的．
23．（8分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC，如果∠B＝30°，CF＝1，求OC的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠1＝∠2，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD是∠BAC的平分线；

（2）解：连接DF，
∵∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠3＝30°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠FDC＝∠3＝30°，
∴CD＝CF＝，
∴AC＝CD＝3，
∴AF＝2，
过O作OG⊥AF于G，
∴GF＝AF＝1，四边形ODCG是矩形，
∴CG＝2，OG＝CD＝，
∴OC＝＝．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4，
∴点A（4，0）和点B（﹣1，0），点C（0，4）．
∴，解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；

（2）y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
①将△ABC沿x轴翻折，则点C（0，4）的对应点落在点D1（0，﹣4）处，
则△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D1（0，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+b′x﹣4，
将B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+b′x﹣4，
得0＝﹣1﹣b′﹣4，
解得，b′＝﹣5，
∴平移后经过点B，D1的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣（x+）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度；

②将△ABD1沿抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴直线x＝翻折，则点D1（0，﹣4）的对应点落在点D2（3，﹣4）处，
则△BAD2≌△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D2（3，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+mx+n，
将B（﹣1，0），D2（3，﹣4）代入y＝﹣x2+mx+n，
得，解得，
∴平移后经过点B，D2的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度；
综上所述，平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4或y＝﹣x2+x+2，平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度或先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
25．（12分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 　3　；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）

【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ABC与平行四边形ABCD中BC边上的高相等，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝3．
故答案为：3；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝60°．
∵AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°．
作△BCD的外接圆⊙O，则BC为定弦，点D为优弧上的一动点，如图，

作BC的垂直平分线EF，交⊙O于点E，交BC于点F，
∵弦的垂直平分线经过圆心，
∴EF经过圆心O．
连接BO，CO，BE，CE，如图，

由图形可知：当点D与点E重合时，S△BCD取得最大值，最大值为S△BCE．
∵∠D＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，OF⊥BC，BC＝6，
∴∠OBC＝30°，BF＝CF＝BC＝3．
∴OF＝BF•tan30°＝3×＝．
∴OE＝OB＝2OF＝2，
∴EF＝OF+OE＝3．
∴BC•EF＝6×3＝9，
∴△BCD面积的最大值9；
（3）延长AD至点E，使DE＝BC，连接CE，如图，

∵DE∥BC，DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，
∴∠DEC＝∠DBC＝30°，S△BCD＝S△CDE．
∵AD∥BC，
∴S△ADC＝S△ADB．
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝S△ADC+S△CDE＝S△CAE．
∴当△CAE面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
作△ACE的外接圆⊙O，当点E与优弧的中点E′重合时，△ACE的面积最大．
连接OA，OC，连接E′O并延长，交AC于点H，则E′H⊥AC，
∴∠AE′C＝∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，∠AOH＝30°．
∵AC＝500米，
∴AH＝AC＝250米，OE′＝OA＝AC＝500米，
∴OH＝＝250（米），
∴HE′＝OE′+OH＝（500+250）米．
∴△ACE的面积的最大值为：AC•HE′＝500×（500+250）＝（125000+62500）平方米．
∴四边形ABCD的最大面积为（125000+62500）平方米．