历年高考数学真题精选22 线性规划

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题22 线性规划（学生版）

一．选择题（共14小题）

1．（2019•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是　　

A． B．1 C．10 D．12

2．（2019•北京）若，满足，且，则的最大值为　　

A． B．1 C．5 D．7

3．（2018•北京）设集合，，，则　　

A．对任意实数， B．对任意实数， 

C．当且仅当时， D．当且仅当时，

4．（2016•浙江）在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影，由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则　　

A． B．4 C． D．6

5．（2016•浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是　　

A． B． C． D．

6．（2016•山东）若变量，满足，则的最大值是　　

A．4 B．9 C．10 D．12

7．（2016•北京）已知，．若点在线段上，则的最大值为　　

A． B．3 C．7 D．8

8．（2015•福建）变量，满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于　　

A． B． C．1 D．2

9．（2014•安徽），满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为　　

A．或 B．2或 C．2或 D．2或1

10．（2014•福建）已知圆，设平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为　　

A．49 B．37 C．29 D．5

11．（2013•北京）设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，，满足，求得的取值范围是　　

A． B． C． D．

12．（2012•新课标）已知正三角形的顶点，，顶点在第一象限，若点在内部，则的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

13．（2011•福建）已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

14．（2010•全国新课标）已知的三个顶点为，，，点在的内部，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共6小题）

15．（2019•新课标Ⅱ）若变量，满足约束条件则的最大值是　　．

16．（2014•浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是　　．

17．（2015•新课标Ⅰ）若，满足约束条件．则的最大值为　　．

18．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

男学生人数多于女学生人数；

女学生人数多于教师人数；

教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　 　．

②该小组人数的最小值为　 　．

19．（2015•北京）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为　　．

20．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为　　元．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题22 线性规划（教师版）

一．选择题（共14小题）

1．（2019•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是　　

A． B．1 C．10 D．12

【答案】C

【解析】由实数，满足约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，

有最大值：10．

故选：．

2．（2019•北京）若，满足，且，则的最大值为　　

A． B．1 C．5 D．7

【答案】C

【解析】由作出可行域如图，

联立，解得，

令，化为，

由图可知，当直线过点时，有最大值为．

故选：．

3．（2018•北京）设集合，，，则　　

A．对任意实数， B．对任意实数， 

C．当且仅当时， D．当且仅当时，

【答案】D

【解析】当时，集合，，，，，显然不满足，，，所以不正确；

当，集合，，，，，显然在可行域内，满足不等式，所以不正确；

当，集合，，，，，显然，所以当且仅当错误，所以不正确；

故选：．

4．（2016•浙江）在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影，由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则　　

A． B．4 C． D．6

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），

区域内的点在直线上的投影构成线段，即，而，

由得，即

由得，即，

则，

故选：．

5．（2016•浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出平面区域如图所示：

当直线分别经过，时，平行线间的距离相等．

联立方程组，解得，

联立方程组，解得．

两条平行线分别为，，即，．

平行线间的距离为，

故选：．

6．（2016•山东）若变量，满足，则的最大值是　　

A．4 B．9 C．10 D．12

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图，

，，，联立，解得．

，的最大值是10．故选：．

7．（2016•北京）已知，．若点在线段上，则的最大值为　　

A． B．3 C．7 D．8

【答案】C

【解析】如图，．若点在线段上，

令，则平行当直线经过时截距最小，取得最大值，

可得的最大值为：．

故选：．

8．（2015•福建）变量，满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于　　

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为，

解得：．

故选：．

9．（2014•安徽），满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为　　

A．或 B．2或 C．2或 D．2或1

【答案】C

【解析】由题意作出约束条件，平面区域，

将化为，相当于直线的纵截距，

由题意可得，与或与平行，

故或；

故选：．

10．（2014•福建）已知圆，设平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为　　

A．49 B．37 C．29 D．5

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

圆心为，半径为1

圆心，且圆与轴相切，

，

则，

要使的取得最大值，则只需最大即可，

由图象可知当圆心位于点时，取值最大，

由，解得，即，

当，时，，即最大值为37，

故选：．

11．（2013•北京）设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，，满足，求得的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据约束条件画出可行域，

要使可行域存在，必有，要求可行域包含直线上的点，只要边界点

在直线的上方，且在直线的下方，

故得不等式组，

解之得：．

故选：．

12．（2012•新课标）已知正三角形的顶点，，顶点在第一象限，若点在内部，则的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

【答案】A

【解析】设，

由，，及为正三角形可得，

即

，即，

则此时直线的方程，的方程为，

直线的方程为

当直线经过点时，，经过点，经过点，时，

故选：．

13．（2011•福建）已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式

当，时，

当，时，

当，时，

故和取值范围为，

14．（2010•全国新课标）已知的三个顶点为，，，点在的内部，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知条件得，

由得，平移直线当直线经过点时，最大，

即取最小为；当直线经过点时，最小，即取最大为20，

又由于点在四边形的内部，故．

如图：故选．

二．填空题（共6小题）

15．（2019•新课标Ⅱ）若变量，满足约束条件则的最大值是　　．

【答案】9

【解析】由约束条件作出可行域如图：

化目标函数为，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最小，有最大值为9．

16．（2014•浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是　　．

【答案】

【解析】由约束条件作可行域如图，

联立，解得．

联立，解得．

在中取得．

要使恒成立，

则，解得：．

实数的取值范围是．

17．（2015•新课标Ⅰ）若，满足约束条件．则的最大值为　　．

【答案】3

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分．

设，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，

由图象知的斜率最大，

由，解得，即，

，

即的最大值为3．

故答案为：3．

18．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

男学生人数多于女学生人数；

女学生人数多于教师人数；

教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　6　．

②该小组人数的最小值为　 　．

【答案】6，12

【解析】①设男学生女学生分别为，人，

若教师人数为4，

则，即，

即的最大值为7，的最大值为6，

即女学生人数的最大值为6．

②设男学生女学生分别为，人，教师人数为，

则，即

即最小为3才能满足条件，

此时最小为5，最小为4，

即该小组人数的最小值为12，

故答案为：6，12

19．（2015•北京）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为　7　．

【答案】7

【解析】由，得，

平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．即．此时的最大值为，

故答案为：7．

20．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为　　元．

【答案】216000

【解析】（1）设、两种产品分别是件和件，获利为元．

由题意，得，．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，，

目标函数．经过时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：元．