历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题29 直线与平面所成的角（学生版）

一．解答题（共15小题）

1．（2019•上海）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．

（1）求直线和平面的夹角；

（2）求点到平面的距离．

2．（2019•天津）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．

4．（2018•天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

5．（2018•天津）如图，且，，且，且，平面，．

（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

6．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

8．（2017•上海）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．

（1）求三棱柱的体积；

（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小．

9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

10．（2017•天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

11．（2016•浙江）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．

12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

13．（2016•天津）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

14．（2015•天津）如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．

15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题29 直线与平面所成的角（教师版）

一．解答题（共15小题）

1．（2019•上海）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．

（1）求直线和平面的夹角；

（2）求点到平面的距离．

解：（1）依题意：平面，连接，则与平面所成夹角为，

，，

△为等腰三角形，

，

直线和平面的夹角为，

（2）（空间向量），如图建立坐标系，

则，0，，，4，，，0，，，0，，

，4，，，4，，，4．，

设平面的法向量，，，

由，可得，1，，

点到平面的距离．

2．（2019•天津）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

证明：（Ⅰ）连结，由题意得，，

又由，得，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）取棱中点，连结，

依题意得，

又平面平面，平面平面，

平面，

又平面，，

又，，

平面．

解：（Ⅲ）连结，由（Ⅱ）中平面，

知是直线与平面所成角，

是等边三角形，，且为中点，

，又，

在中，．

直线与平面所成角的正弦值为．

3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．

方法一：

证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，

，

又平面平面，平面，

平面平面，

平面，，

，，，

平面，．

解：（Ⅱ）取中点，连结、，则是平行四边形，

由于平面，故，

平行四边形是矩形，

由（Ⅰ）得平面，

则平面平面，

在平面上的射影在直线上，

连结，交于，则是直线与平面所成角（或其补角），

不妨设，则在△中，，，

是的中点，故，

，

直线与平面所成角的余弦值为．

方法二：

证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，

，

又平面平面，平面，

平面平面，

平面，

如图，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，

，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，，，，2，，

，，

由，得．

解：（Ⅱ）设直线与平面所成角为，

由（Ⅰ）得，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

，

直线与平面所成角的余弦值为．

4．（2018•天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，，

得平面，故；

（Ⅱ）解：取棱的中点，连接，，

为棱的中点，故，

（或其补角）为异面直线与所成角，

在中，，故，

平面，故，

在中，，故，

在等腰三角形中，，可得．

异面直线与所成角的余弦值为；

（Ⅲ）解：连接，为等边三角形，为边的中点，

故，，

又平面平面，而平面，

故平面，则为直线与平面所成角．

在中，，

在中，．

直线与平面所成角的正弦值为．

5．（2018•天津）如图，且，，且，且，平面，．

（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

（Ⅰ）证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，

轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

可得，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，，，1，，，0，，，，，，0，．

设为平面的法向量，

则，不妨令，可得；

又，可得．

又直线平面，

平面；

（Ⅱ）解：依题意，可得，，．

设为平面的法向量，

则，不妨令，可得．

设为平面的法向量，

则，不妨令，可得．

因此有，于是．

二面角的正弦值为；

（Ⅲ）解：设线段的长为，，则点的坐标为，0，，

可得，而为平面的一个法向量，

故．

由题意，可得，解得，．

线段的长为．

6．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

证明：平面，平面，

，

，，，

，

又，，

，

同理可得：，

又，

平面．

解：取中点，过作平面的垂线，交于，

，，

，，，，

以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，0，，，0，，，，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量为，，，则，

，令可得，1，，

．

设直线与平面所成的角为，则．

直线与平面所成的角的正弦值为．

7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

（1）证明：由题意，点、分别是、的中点，

则，，

由于四边形为正方形，所以．

由于，，则平面．

又因为平面，所以：平面平面．

（2）在平面中，过作于点，连接，

由于为面和面的交线，，

则面，故．

在三棱锥中，可以利用等体积法求，

因为且，

所以，

又因为，

所以，

所以，

由于，则平面，

故，

因为且面，

所以面，

所以．

设正方形边长为，则，

在中，，

所以，

故，

又因为，

所以，

所以在中，，

即为与平面所成角的正弦值为：．

8．（2017•上海）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．

（1）求三棱柱的体积；

（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小．

解：（1）直三棱柱的底面为直角三角形，

两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．

三棱柱的体积：

．

（2）连结，

直三棱柱的底面为直角三角形，

两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5，是中点，

底面，，

是直线与平面所成角，

，

直线与平面所成角的大小为．

9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，

为的中点，，

在四边形中，，，为中点，

，平面平面，

平面，

平面．

解：（Ⅱ）连结，过作于，连结，

，，

推导出四边形为矩形，，

平面，又，

平面，，

设，由，得，

，

，，

又平面，，

平面，即点到平面的距离为，

，到平面的距离应该和平行且相等，为，

为中点，到平面的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，

到平面的距离为，

在，

由余弦定理得，

设直线与平面所成角为，则．

10．（2017•天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知，

故或其补角即为异面直线与所成的角．

因为平面，所以．

在中，由已知，得，

故．

所以，异面直线与所成角的余弦值为．

证明：（Ⅱ）因为平面，直线平面，

所以．

又因为，所以，

又，所以平面．

解：（Ⅲ）过点作的平行线交于点，连结，

则与平面所成的角等于与平面所成的角．

因为平面，故为在平面上的射影，

所以为直线和平面所成的角．

由于，，故，

由已知，得．又，故，

在中，可得．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．

11．（2016•浙江）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：延长，，相交于一点，如图所示：平面平面，且；

平面，平面；

；

又，，；

为等边三角形，且为的中点；

，且；

平面；

（Ⅱ）平面；

是直线和平面所成的角；

为中点，且；

为的中位线，且；

；

又；

在中，，；

即直线和平面所成角的余弦值为

12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，

为的中点，

，且，

又，，且，

，且，

则，且，

四边形为平行四边形，则，

平面，平面，

平面；

法二、

在中，过作，垂足为，连接，

在中，由已知，，得，

，

，则，

在中，

，，

由余弦定理得：，

，

而在中，，

，即，

，则平面．

由底面，得，又，

，则平面．

，

平面平面，则平面；

（2）解：在中，由，，，得．

，则，

底面，平面，

平面平面，且平面平面，

平面，则平面平面．

在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．

在中，由是的中点，得，

在中，由，得，

．

直线与平面所成角的正弦值为．

13．（2016•天津）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）的中点为，连接，，在中，

是的中点，

，且，

又，，

，且，

即四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面；

（2）证明：在中，，，，

由余弦定理可得，仅而，

即，

又平面平面，

平面，平面平面，

平面，

平面，

平面平面．

（Ⅲ），

直线与平面所成的角即为直线与平面所形成的角，

过点作于点，连接，

又平面平面，

由（2）知平面，

直线与平面所成的角为，

在，，，，由余弦定理得，

，

，

在中，，

直线与平面所成角的正弦值

14．（2015•天津）如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：连接，在△中，

和分别是和的中点，，

又平面，平面，

平面；

（Ⅱ）证明：，为中点，，

平面，，平面，

，又，平面，

又平面，平面平面；

（Ⅲ）取中点和中点，连接，，，

和分别为和的中点，平行且等于，

平行且等于，四边形是平行四边形，

平行且等于，

又平面，平面，

即为直线与平面所成角，

在中，可得，，

，，且，

又由，，

在△中，，

在△中，，

，即直线与平面所成角的大小为

15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）交线围成的正方形如图：

（2）作，垂足为，则：

，；

，；

以边，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，0，，，10，，，4，，，4，；

；

设为平面的法向量，则：

，取，则；

若设直线和平面所成的角为，则：

；

直线与平面所成角的正弦值为．