历年高考数学真题精选30 立体几何中的平行关系

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题30 平行关系（学生版） 1．（2019•江苏）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）．2．（2017•江苏）如图，在三棱锥中，，，平面平面，点、与、不重合）分别在棱，上，且．求证：（1）平面；（2）．3．（2016•山东）在如图所示的几何体中，是的中点，．（Ⅰ）已知，，求证：；（Ⅱ）已知，分别是和的中点，求证：平面．4．（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ），，求三棱锥的体积．5．（2013•山东）如图，四棱锥中，，，，，，，，，分别为、、、、的中点．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求证：平面平面．6．（2013•天津）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）证明平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．7．（2013•北京）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，．和分别是和的中点，求证：（Ⅰ）底面；（Ⅱ）平面；（Ⅲ）平面平面．8．（2012•山东）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，为线段的中点，求证：平面．9．（2012•辽宁）如图，直三棱柱，，，，点，分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）10．（2012•北京）如图1，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到△的位置，使，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？说明理由．11．（2010•湖南）如图所示，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）求直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．12．（2013•陕西）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．（Ⅰ） 证明：平面平面；（Ⅱ） 求三棱柱的体积．13．（2011•山东）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题30 平行关系（教师版） 1．（2019•江苏）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）．证明：（1）在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，，平面，平面，平面．解：（2）在直三棱柱中，是的中点，．，，又，平面，平面，．2．（2017•江苏）如图，在三棱锥中，，，平面平面，点、与、不重合）分别在棱，上，且．求证：（1）平面；（2）．证明：（1），，且、、、四点共面，，又平面，平面，平面；（2）在线段上取点，连结、使得，则，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，且，平面，平面，，，．3．（2016•山东）在如图所示的几何体中，是的中点，．（Ⅰ）已知，，求证：；（Ⅱ）已知，分别是和的中点，求证：平面．（Ⅰ）证明：如图所示，是的中点，，，、都是等腰三角形，，．，、、、四点共面，这样，垂直于平面内的两条相交直线、，平面．显然，平面，．（Ⅱ）已知，分别是和的中点，再取的中点，则，又，故有，而平面，平面．同理，，而平面，平面．，平面平面，平面．4．（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ），，求三棱锥的体积．解：（Ⅰ）证明：连接 交于点，则为的中点．直棱柱中，，分别是，的中点，故为三角形的中位线，故．由于平面，而不在平面中，故有平面．（Ⅱ），，故此直三棱柱的底面为等腰直角三角形．由为的中点可得平面，．，同理，利用勾股定理求得，．再由勾股定理可得，．，．5．（2013•山东）如图，四棱锥中，，，，，，，，，分别为、、、、的中点．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求证：平面平面．解：（Ⅰ）证明：四棱锥中，，，，，，，分别为、、、、的中点，取的中点，则由，，而且，，可得和平行且相等，故四边形为平行四边形，故．由于在平面内，而不在平面内，故有平面．（Ⅱ）证明：由于，，而，可得平面．再由可得，平面．由于是三角形的中位线，故有，故平面．由于为三角形的中位线，可得，而在平面内，而不在平面内，故有平面．同理可得，平面．而 和是平面内的两条相交直线，故有平面平面．平面，而在平面内，故有平面平面．6．（2013•天津）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）证明平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．证明：三棱柱中，，，连接，可得，，又为棱的中点．，，所以是平行四边形，所以，平面，平面，平面是的中点，，又平面，平面，，又，面，又面，平面平面；过作交于，平面平面，且平面平面，，面，则为所求的角，设棱长为，可得，由△，得，在直角中，，直线与平面所成角的正弦值．7．（2013•北京）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，．和分别是和的中点，求证：（Ⅰ）底面；（Ⅱ）平面；（Ⅲ）平面平面．解：（Ⅰ），平面平面，平面平面，由平面和平面垂直的性质定理可得平面． （Ⅱ），，，和分别是和的中点，故四边形为平行四边形，故有．又平面，不在平面内，故有平面． （Ⅲ）平行四边形中，由可得，为矩形，故有①．由平面，可得，再由可得平面，平面，故有．再由、分别为和的中点，可得，②．而和是平面内的两条相交直线，故有平面．由于平面，平面平面．8．（2012•山东）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，为线段的中点，求证：平面．证明：设中点为，连接，，则由知，，又已知，，所以平面．所以，即是的垂直平分线，所以．证法一：取中点，连接，，是的中点，，又平面，平面，平面，是等边三角形，，又，，，，又平面，平面，平面，又，故平面平面，又平面，平面证法二：延长，交于点，连接，，，，是等边三角形，，，因此，，又，为线段的中点，连接，，又平面，平面，平面9．（2012•辽宁）如图，直三棱柱，，，，点，分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）（Ⅰ）（证法一）连接，，由已知，，三棱柱为直三棱柱， 所以为的中点，又因为为中点，所以，又平面，平面，所以平面；（证法二）取中点，连接，．而，分别为，中点，所以，．所以平面，平面；又，所以平面平面，而平面，所以平面；（Ⅱ）（解法一）连接，由题意，平面平面，所以平面，又，故．（解法二）．10．（2012•北京）如图1，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到△的位置，使，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？说明理由．解：（1），分别为，的中点，，又平面，平面． （2）由已知得且，，，又，平面，而平面，，又，平面，． （3）线段上存在点，使平面．理由如下：如图，分别取，的中点，，则．，．平面即为平面．由（Ⅱ）知平面，，又是等腰三角形底边的中点，，平面，从而平面，故线段上存在点，使平面．11．（2010•湖南）如图所示，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）求直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．解：如图（a），取的中点，连接，，因为是的中点，四边形为正方形，所以．又在正方体中．平面，所以面，从而为直线在平面上的射影，直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，则，，于是在中，即直线与平面所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱上存在点，使平面，事实上，如图（b）所示，分别取和的中点，，连接，，，，因，且，所以四边形为平行四边形，因此，又，分别为，的中点，所以，从而，这说明，，，共面，所以平面因四边形与皆为正方形，，分别为和的中点，所以，且，因此四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面．12．（2013•陕西）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．（Ⅰ） 证明：平面平面；（Ⅱ） 求三棱柱的体积．解：（Ⅰ）四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，，由棱柱的性质可得 和平行且相等，故四边形为平行四边形，故有和平行且相等．而不在平面内，而在平面内，平面．同理可证，为平行四边形，平面．而和是平面内的两条相交直线，故有平面平面．（Ⅱ） 由题意可得为三棱柱的高．三角形中，由勾股定理可得，三棱柱的体积．13．（2011•山东）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面．证明：（Ⅰ）平面，．又，，，中，由余弦定理得，，，又，面．由面，．（Ⅱ）证明：连接和，设，由于底面是平行四边形，故为平行四边形的中心，由棱台的定义及，可得，且，故为平行四边形，，而 平面，平面．