历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系

这是一份历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系，共29页。试卷主要包含了如图，三棱锥中，平面，，如图，四棱锥中，底面，，，等内容，欢迎下载使用。
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（学生版） 1．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面平面；（Ⅲ）棱上是否存在点，使得平面？说明理由．2．（2015•重庆）如图，三棱锥中，平面平面，，点、在线段上，且，，点在线段上，且．（Ⅰ）证明：平面．（Ⅱ）若四棱锥的体积为7，求线段的长．3．（2015•福建）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（Ⅰ）若为线段的中点，求证；平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）设、分别是线段、的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论．5．（2014•福建）如图，三棱锥中，平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积．6．（2014•广东）如图1，四边形为矩形，平面，，作如图2折叠；折痕，其中点，分别在线段，上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．（1）证明：；（2）若，，，求三棱柱的高．8．（2014•山东）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面．9．（2013•安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知，．（Ⅰ）证明：面（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积．10．（2013•重庆）如图，四棱锥中，底面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，，，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，求三棱柱的体积．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积．13．（2018•江苏）在平行六面体中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（教师版） 1．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面平面；（Ⅲ）棱上是否存在点，使得平面？说明理由．证明：（Ⅰ）四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，平面．（Ⅱ）在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点，，，，，平面，平面，平面平面．解：（Ⅲ）棱上是存在中点，使得平面．理由如下：取中点，连结，，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点，，，，，平面平面，平面，平面．2．（2015•重庆）如图，三棱锥中，平面平面，，点、在线段上，且，，点在线段上，且．（Ⅰ）证明：平面．（Ⅱ）若四棱锥的体积为7，求线段的长．解：（Ⅰ）如图，由，知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而．因为，，故，从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面．（Ⅱ）设，则在直角中，，从而，由知，得，故，即，由，，从而四边形的面积为：．由（Ⅰ）知，平面，所以为四棱锥的高．在直角中，，故体积，故得，解得或，由于，可得或．所以：或．3．（2015•福建）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，（Ⅰ）若为线段的中点，求证；平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．解：（Ⅰ）在中，因为，为的中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面．（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1，又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为：．（Ⅲ）在中，，，所以，同理，所以，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当，，共线时，取得最小值，又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而．亦即的最小值为：．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形（Ⅰ）若，证明：直线平面；（Ⅱ）设、分别是线段、的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论．（Ⅰ）证明：四边形和都为矩形，，，，平面，平面，，，，直线平面；（Ⅱ）解：取的中点，连接，，，，设为，的交点，则为的中点．连接，，则，，，，，，连接，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，线段上存在一点（线段的中点），使直线平面．5．（2014•福建）如图，三棱锥中，平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，为中点，求三棱锥的体积．（Ⅰ）证明：平面，平面，，，，平面；（Ⅱ）解：平面，平面，．，，为中点，，平面，．6．（2014•广东）如图1，四边形为矩形，平面，，作如图2折叠；折痕，其中点，分别在线段，上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．解：（1）证明：平面，平面，平面平面；又平面平面，平面，，平面，平面，；又，、平面，，平面；（2）平面，，又中，，，，，，；，，即，，，；，．7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．（1）证明：；（2）若，，，求三棱柱的高．（1）证明：连接，则为与的交点，侧面为菱形，，平面，，，平面，平面，；（2）解：作，垂足为，连接，作，垂足为，，，，平面，，，，平面，，为等边三角形，，，，，由，可得，，为的中点，到平面的距离为，三棱柱的高．8．（2014•山东）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面．证明：（Ⅰ）连接，则，，为线段的中点，四边形是平行四边形，是平行四边形，设，连接，则是的中点，为线段的中点，，平面，平面，平面；（Ⅱ）是平行四边形，，平面，平面，，，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，平面．9．（2013•安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知，．（Ⅰ）证明：面（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积．（Ⅰ）证明：连接，交于点，，，又是菱形，，平面，平面，，平面．（Ⅱ）则，和的三边长均为2，，，，，，．10．（2013•重庆）如图，四棱锥中，底面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．解：（Ⅰ），为等腰三角形，再由，．再由底面，可得．而，故平面．（Ⅱ）侧棱上的点满足，三棱锥的高是三棱锥的高的．的面积．三棱锥的体积．11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，，，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，求三棱柱的体积．（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连结，，．因为，所以．由于，，故△为等边三角形，所以．因为，所以平面．又平面，故；（Ⅱ）解：由题设知与△都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故．因为，所以平面，为三棱柱的高．又的面积，故三棱柱的体积．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积．解：（1）证明：由已知可得，，即有，则，确定一个平面，从而，，，四点共面；由四边形为矩形，可得，由为直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）连接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，则平行四边形的面积为．13．（2018•江苏）在平行六面体中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．证明：（1）平行六面体中，，      ，平面，平面平面；（2）在平行六面体中，，四边形是菱形，．在平行六面体中，，．面，且平面平面平面．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．（1）证明：矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以半圆弦所在平面，半圆弦所在平面，，是上异于，的点．，，平面，平面，平面平面；（2）解：存在是的中点，理由：连接交于，取的中点，连接，可得，平面，平面，所以平面．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．解：（1）证明：在平行四边形中，，，又．且，面，面，平面平面；（2），，，，由（1）得，又，面，三棱锥的体积．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．证明：（1）在四棱锥中，，，，又，，，平面，平面，平面平面．解：（2）设，取中点，连结，，，平面平面，底面，且，，四棱锥的体积为，由平面，得，，解得，，，，，该四棱锥的侧面积：．