历年高考数学真题精选49 独立性检验

这是一份历年高考数学真题精选49 独立性检验，共26页。
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题49 独立性检验（学生版）
1．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
2．（2018•新课标Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式


（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
3．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：，其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量
箱产量
旧养殖法


新养殖法


（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到．
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
．
4．（2014•安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
附：．

5．（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
6．（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：，，，，，，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成
7．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男



女

10
55
合计



（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差

0.05
0.01

3.841
6.635
．
8．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男



女



合计



（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

0.05
0.01

3.841
6.635
附．
9．（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：．
10．（2010•辽宁）为了比较注射，两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物．
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物和后的试验结果．（疱疹面积单位：
表1：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
，，，，
频数
30 40 20 10
表2：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
，，，，，
频数
10 25 20 30 15
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

完成下面列联表，并回答能否有的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”．
表

疱疹面积小于
疱疹面积不小于
合计
注射药物



注射药物



合计



附：．

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题49 独立性检验（教师版）

1．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率，
女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）由题意可知，，
故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
2．（2018•新课标Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式


（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为；
由此填写列联表如下；

超过
不超过
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据（2）中的列联表，计算
，
能有的把握认为两种生产方式的效率有差异．
3．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：，其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量
箱产量
旧养殖法


新养殖法


（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到．
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
．
解：（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，
由（A）（B）（C），
则旧养殖法的箱产量低于，
故（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于，
故（C）的估计值为，
则事件的概率估计值为（A）（B）（C）；
发生的概率为0.4092；
（2）列联表：

箱产量
箱产量
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则，
由，
有的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图的面积：
，
箱产量低于的直方图面积为：
，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：，
新养殖法箱产量的中位数的估计值．
4．（2014•安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
附：．

解：（1），所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表

男生
女生
总计
每周平均体育运动时间
不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间
超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得
所以，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
5．（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：

0.100
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635
解：（Ⅰ）由题意，，
有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有种情况，有2名喜欢甜品，有种情况，
至多有1人喜欢甜品的概率．
6．（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：，，，，，，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成
解：由已知可得，样本中有25周岁以上组工人名，
25周岁以下组工人名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有（人，
25周岁以下组工人有（人，
故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共种，
其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共种，
故所求的概率为：；
由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有（人，
“25周岁以下组”中的生产能手有（人，据此可得列联表如下：

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以可得，
因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
7．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男



女

10
55
合计



（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差

0.05
0.01

3.841
6.635

解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算，得：
，
因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．

由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，
由题意，从而分布列为

0
1
2
3





所以．．
8．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男



女



合计



（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

0.05
0.01

3.841
6.635
附．
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
分
将列联表中的数据代入公式计算，得

因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关分
由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中表示男性，，2，3，表示女性，，分
由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用表示事件“任选2人，至少有1人是女性”．则
，，，，，，，，，，，，，
事件有7个基本事件组成，因而（A）分
9．（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：．
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）的观测值
因为，且，
所以有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
10．（2010•辽宁）为了比较注射，两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物．
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物和后的试验结果．（疱疹面积单位：
表1：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
，，，，
频数
30 40 20 10
表2：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
，，，，，
频数
10 25 20 30 15
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

完成下面列联表，并回答能否有的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”．
表

疱疹面积小于
疱疹面积不小于
合计
注射药物



注射药物



合计



附：．
解：（Ⅰ）从200选100的组合数，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件，则事件包含的情况有（4分）
（Ⅱ）

图Ⅰ注射药物后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数．（8分）
表

疱疹面积小于
疱疹面积不小于
合计
注射药物


100
注射药物


100
合计
105
95


由于，所以有的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”．（12分）