历年高考数学真题精选50 随机变量及其分布

这是一份历年高考数学真题精选50 随机变量及其分布，共32页。试卷主要包含了已知随机变量满足，，，2，的点的个数的估计值为等内容，欢迎下载使用。
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题50 随机变量及其分布（学生版）
一．选择题（共10小题）
1．（2019•浙江）设．随机变量的分布列是

0

1




则当在内增大时，　　
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
2．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则　　
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
3．（2017•浙江）已知随机变量满足，，，2．若，则　　
A．， B．，
C．， D．，
4．（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件：“取到的2个数之和为偶数”，事件：“取到的2个数均为偶数”，则　　
A． B． C． D．
5．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和．则　　
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
6．（2015•湖北）设，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是　　

A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
7．（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为　　
附“若，则
．
．

A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为　　
（附：若随机变量服从正态分布，则，
A． B． C． D．
9．（2011•湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则等于　　
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
10．（2008•安徽）设两个正态分布，和，曲线如图所示，则有　　

A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共3小题）
11．（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．表示抽到的二等品件数，则　　．
12．（2011•湖南）如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则
（1）（A）　 　；
（2）　 　．

13．（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　 　．

三．解答题（共10小题）
14．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
15．（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．

16．（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获（单位：与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：

1
2
3
4

51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

17．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
18．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：

，
，
大于2000
仅使用
18人
9人
3人
仅使用
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
19．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
20．（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
21．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．
22．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
23．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
利用该正态分布，求；
某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用的结果，求．
附：．
若则，．

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题50 随机变量及其分布（教师版）
一．选择题（共10小题）
1．（2019•浙江）设．随机变量的分布列是

0

1




则当在内增大时，　　
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】，


，先减小后增大
2．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则　　
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，看做是独立重复事件，满足，，可得，可得．即．因为，可得，解得或（舍去）．
3．（2017•浙江）已知随机变量满足，，，2．若，则　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】随机变量满足，，，2，，
，，，
，，
，
，
，．
4．（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件：“取到的2个数之和为偶数”，事件：“取到的2个数均为偶数”，则　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】事件 “取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、、，（A），
事件 “取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有，
．
5．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和．则　　
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为，
作差得，由将和，同时开5次方，通分后比较得出：．
6．（2015•湖北）设，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是　　

A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】C
【解析】正态分布密度曲线图象关于对称，所以，从图中容易得到．

7．（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为　　
附“若，则
．
．

A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【答案】C
【解析】由题意，
落入阴影部分点的个数的估计值为
8．（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为　　
（附：若随机变量服从正态分布，则，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，
所以．
9．（2011•湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则等于　　
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】B
【解析】随机变量服从正态分布，，得对称轴是．
，．

10．（2008•安徽）设两个正态分布，和，曲线如图所示，则有　　

A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小．
二．填空题（共3小题）
11．（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．表示抽到的二等品件数，则　　．
【答案】1.96
【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，，，则．
12．（2011•湖南）如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则
（1）（A）　　；
（2）　 　．

【答案】．
【解析】用表示事件“豆子落在正方形内”， （A），
表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”， ，
．
13．（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．

【答案】
【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
设超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，超过1000小时时，元件3正常 该部件的使用寿命超过1000小时
则（A），（B）
（C）（A）（B）
三．解答题（共10小题）
14．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
解：（Ⅰ）由已知得的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
，，
，，
，，
，
的分布列为：

16
17
18
19
20
21
22








（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
．
．
中，的最小值为19．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
．
买19个所需费用期望：
，
买20个所需费用期望：
，
，买19个更合适．
15．（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．

解：（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”
表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此，
，
（B），
（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，
，
，
随机变量的分布列为

0
1
2
3

0.064
0.288
0.432
0.216
因为，
所以期望，
方差．
16．（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获（单位：与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：

1
2
3
4

51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

解：所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为；
先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为的分布列
，，，
只需求出，2，3，即可
记为其“相近”作物恰有株的作物株数，2，3，，则，，，
由得，，，
所求的分布列为

51
48
45
42





数学期望为
17．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
解：甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，
故，从而，，1，2，3．
所以，随机变量的分布列为：

0
1
2
3





随机变量的期望．
设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，
且，，，由题意知，与，互斥，且与，与相互独立，
由知，，，，，

18．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：

，
，
大于2000
仅使用
18人
9人
3人
仅使用
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，
，两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用的有30人，仅使用的有25人，
，两种支付方式都使用的人数有：，
从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，
则的可能取值为0，1，2，
样本仅使用的学生有30人，其中支付金额在，的有18人，超过1000元的有12人，
样本仅使用的学生有25人，其中支付金额在，的有10人，超过1000元的有15人，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2




数学期望．
（Ⅲ）不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，
理由如下：
从样本仅使用的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，
随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为，
虽然概率较小，但发生的可能性为．
故不能认为认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
19．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，
当时，，
的最大值点．
（2）由（1）知，
令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，
，即，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
，
应该对余下的产品进行检验．
20．（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
，
，
，
，
，
，
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
解：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，
，，，
的分布列为：

200
300
500

0.2
0.4
0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
只需考虑，
当时，若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，，则；
若最高气温低于20，则，
，
当时，若最高气温不低于20，则，
若最高气温低于20，则，
．
时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．
21．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．
解：由已知得：，所以，事件发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2；计算，
，；
所以，随机变量的分布列为

0
1
2




随机变量的数学期望为
．
22．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
解：（1）由题可知尺寸落在之内的概率为0.9974，
则落在之外的概率为，
因为，
所以，又因为，
所以；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由，，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
，
因此的估计值为10.02．
，
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
，
因此的估计值为．
23．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
利用该正态分布，求；
某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用的结果，求．
附：．
若则，．
解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
从而；
由知一件产品的质量指标值位于区间的概率为0.6826，
依题意知，所以．