历年高考数学真题精选52 不等式选讲

这是一份历年高考数学真题精选52 不等式选讲，共19页。试卷主要包含了＝|x+1|﹣|ax﹣1|，＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|，＝|x+1|+|x﹣1|，＝|x+1|﹣|x﹣2|，＝|2x﹣a|+a，＜2的解集等内容，欢迎下载使用。

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题52 不等式选讲（学生版）

1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
2．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x-12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
10．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[-a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
13．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
14．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
15．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
16．（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
17．（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题52 不等式选讲（学生版）

一．解答题（共18小题）
1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
∴a的取值范围为：[1，+∞）
2．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞12x，-1≤x≤1-2，x＜-1，
由f（x）＞1，
∴2x＞1-1≤x≤1或2＞1x＞1，
解得x＞12，
故不等式f（x）＞1的解集为（12，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜2a，
∴a＜2x
∵2x＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤-12，-1＜x＜2-2x+6，x≥2．
当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞12，-1≤x≤1-2x，x＜-1，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17-12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，17-12]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，17-12]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需12-a⋅1-2≤0(-1)2-a(-1)-2≤0，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=-3，x＜-12x-1，-1≤x≤23，x＞2，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=-x2+x-3，x≤-1-x2+3x-1，-1＜x＜2-x2+x+3，x≥2，
当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=12＞-1，
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（32）=-94+92-1=54；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=12＜2，
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max=54，
∴m的取值范围为（﹣∞，54]．
6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x-12|+2|x-a2|+a≥3，
|x-12|+|x-a2|≥3-a2，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x-12|+|x-a2|≥12|a﹣1|≥3-a2＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x-12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
解：（I）当x＜-12时，不等式f（x）＜2可化为：12-x﹣x-12＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜-12，
当-12≤x≤12时，不等式f（x）＜2可化为：12-x+x+12=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴-12≤x≤12，
当x＞12时，不等式f（x）＜2可化为：-12+x+x+12＜2，
解得：x＜1，
∴12＜x＜1，
综上可得：M＝（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即x＜-1-x-1-2(1-x)＞1①，或-1≤x＜1x+1-2(1-x)＞1②，
或x≥1x+1-2(x-1)＞1③．
解①求得x∈∅，解②求得23＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（23，2）．
（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|=x-1-2a，x＜-13x+1-2a，-1≤x≤a-x+1+2a，x＞a，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （2a-13，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得12[2a+1-2a-13]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．

9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a|＝a+1a≥2a⋅1a=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜5+212．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+1a＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得1+52＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（1+52，5+212）．
10．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a+1b=ab，
∴ab=1a+1b≥21ab，∴ab≥2，
当且仅当a＝b=2时取等号．
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a＝b=2时取等号，
∴a3+b3的最小值为42．
（Ⅱ）∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，26ab≥212=43＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[-a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=-5x，x＜12-x-2，12≤x≤13x-6，x＞1，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[-a2，12]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a﹣2对x∈[-a2，12]都成立．
故-a2≥a﹣2，
解得a≤43，
故a的取值范围为（﹣1，43]．

12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
解：（1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣5|=-3，x≤22x-7，2＜x＜53，x≥5．
当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．
所以﹣3≤f（x）≤3．
（2）由（1）可知，
当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x＜5}；
当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}．
13．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，
由柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，
可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，
即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43；
（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，
可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2)23，
即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值为(a+2)23，
由题意可得(a+2)23≥13，
解得a≥﹣1或a≤﹣3．
14．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8ab•bc•ac=24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
15．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a⋅a5+b⋅b5）2＝（a3+b3）2≥4，
当且仅当ab5=ba5，即a＝b＝1时取等号，
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴(a+b)3-23(a+b)=ab，
由均值不等式可得：(a+b)3-23(a+b)=ab≤（a+b2）2，
∴（a+b）3﹣2≤3(a+b)34，
∴14（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
16．（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
证明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2ab，
（c+d）2＝c+d+2cd，
由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，
则ab＞cd，
即有（a+b）2＞（c+d）2，
则a+b＞c+d；
（2）①若a+b＞c+d，则（a+b）2＞（c+d）2，
即为a+b+2ab＞c+d+2cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
则有（a+b）2＞（c+d）2．
综上可得，a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
17．（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
（1）证明：记F（x）＝sinx-22x，则F′（x）＝cosx-22．
当x∈（0，π4）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，π4]上是增函数；
当x∈（π4，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[π4，1]上是减函数；
又F（0）＝0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥22x，
记H（x）＝sinx﹣x，则当x∈（0，1）时，H′（x）＝cosx﹣1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）＝0，
即sinx≤x．
综上，22x≤sinx≤x．
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x2+x32+2（x+2）cosx﹣4
＝（a+2）x+x2+x32-4（x+2）sin2x2
≤（a+2）x+x2+x32-4（x+2）(24x)2
＝（a+2）x，
∴当a≤﹣2时，不等式ax+x2+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，
下面证明，当a＞﹣2时，不等式ax+x2+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x2+x32+2（x+2）cosx﹣4
＝（a+2）x+x2+x32-4（x+2）sin2x2≥（a+2）x+x2+x32-4（x+2）(x2)2
＝（a+2）x﹣x2-x32≥（a+2）x-32x2=-32x[x-23（a+2）]．
所以存在x0∈（0，1）（例如x0取a+23和12中的较小值）满足
ax0+x02+x032+2（x0+2）cosx0﹣4＞0，
即当a＞﹣2时，不等式ax+x2+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．
证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13．
（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，
故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c），即a2b+b2c+c2a≥a+b+c．
所以a2b+b2c+c2a≥1．