人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后作业题

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习

一、单选题

1．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（       ）

A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)

C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]

2．当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（       ）．

A． B． C． D．

3．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（       ）

A． B．6

C． D．

4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

5．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．圆的圆心坐标和半径分别是（       ）

A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3

C． D．

7．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

8．如果复数z满足，那么的最大值是（       ）

A． B．

C． D．

9．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

10．圆上一点到原点的距离的最大值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

11．“”是“为圆方程”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

12．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．曲线与圆：只有一个公共点，则圆的面积为___________.

14．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．

15．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

16．自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点为B，则AB的长为________．

17．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________.

三、解答题

18．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.

(1)求顶点和的坐标；

(2)求外接圆的一般方程.

19．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.

（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.

20．在①圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为．

②圆经过点和;

③圆与直线相切，且与圆相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程;若问题中的圆不存在，说明理由．

问题:是否存在圆，______，且圆心在直线上．

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．已知点在圆上运动.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

参考答案：

1．D

化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为，

由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】

由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，

若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.

∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，

而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.

2．B

先配方得圆的标准方程，再根据圆半径最大值时取法得的值，最后求直线倾斜角.

【详解】

方程可化为，

设圆的半径为，则，

∴当时，取得最大值，从而圆的面积最大．

此时，直线方程为，斜率，倾斜角为，

故选：B

【点睛】

本题考查圆的标准方程、直线倾斜角、圆面积最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．D

配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.

【详解】

根据题意，圆，

变形可得．

其圆心为，半径为，则，

当圆的面积最小时，必有，此时．

圆的方程为，

圆心到原点为距离，

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．

故选：D．

4．A

利用一般方程表示圆得的不等式求解

【详解】

由题，则解得

故选：A

【点睛】

本题考查圆的一般方程，是基础题

5．C

根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案．

【详解】

根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，

若原点在圆的外部，

则有，则有，

综合可得：；

故选：C.

6．D

根据圆的标准方程，直接进行判断即可.

【详解】

根据圆的标准方程可得，

的圆心坐标为，半径为，

故选：D.

7．A

求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

8．A

复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．

【详解】

复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．

表示圆上的点与点的距离．

．

的最大值是．

故选：A．

【点睛】

本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．

9．A

先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.

【详解】

解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，

所以圆方程为，即，

故选：A.

10．C

求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.

【详解】

圆的圆心为，半径为，

圆心到原点的距离为，

所以圆上一点到原点的距离的最大值为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.

11．A

根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.

【详解】

方程表示圆需满足或，

所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

12．A

配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数值，然后可得圆半径、面积．

【详解】

圆的方程可化为，其圆心为.依题意得，，解得，圆的半径为，面积为，

故选：A.

13．

联立曲线与圆方程，消去，利用换元法以及根与系数的关系解出，可得圆的面积．

【详解】

联立曲线与圆：，

可得，即

令，则

，且，解得

则圆的面积为

故答案为：

14．

由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围

【详解】

解：因为在圆外，

所以且，得，

解得或，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

15．或或或；

设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】

解：依题意设圆的方程为，

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或；

16．3

先运用两点间的距离公式求得圆心到点A的距离，再利用勾股定理可求得答案.

【详解】

点A到圆心C(2，3)的距离为＝，所以切线长为＝3.

故答案为：3.

17．

由于两圆的半径相等，可得，求出两圆的圆心O(0，0)，，则求出OA的中点坐标，，从而可得直线的斜率为，从而可求出直线的方程

【详解】

由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)，

圆的标准方程为，可得圆心，

则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

18．(1)，

(2)

（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；

（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.

(1)

由可得，所以点的坐标为，

由可得，所以

由，可得，

因为，所以直线       的方程为：，即，

由可得，所以点的坐标为.

(2)

设的外接圆方程为，

将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：

，解得：，

所以的外接圆的一般方程为.

19．（1），，；（2）

（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.

（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.

【详解】

（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：

李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等

故

故

即

故

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为

（2）圆心关于的对称点为

则有，

解得

联立与，可得交点为

王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.

【点睛】

求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

20．答案见解析.

选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；

【详解】

选择条件①：设圆心的坐标为，圆的半径为

因为圆心在直线上，所以

因为圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为

所以，，且

由垂径定理得解得，

所以，

所以圆的方程为

选择条件②：设圆心的坐标为，圆的半径为

因为圆心在直线上，所以

因为圆经过点和，的中点

所以的中垂线方程为

联立直线

解得

即，，

所以圆的方程为

选择条件③：设圆心的坐标为，圆的半径为

因为圆心在直线上，所以

所以，

所以，因为圆与圆相外切，

所以，即

可得：，因为该方程，所以方程无解

故不存在满足题意的圆．

【点睛】

“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

21．（1）； （2）.

（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；

（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.

【详解】

（1）由题意，点在圆上运动，

设，整理得，则表示点与点连线的斜率，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

又由，解得，所以

所以的最大值为.

（2）设，整理得，

则表示直线在轴上的截距，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

由，解得，所以

所以的最小值为.