数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时作业

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示

一、单选题

1．已知，，则的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．

2．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

3．已知，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．以上都不对

4．已知，，O为原点，则与的夹角是（       ）

A．0 B．π C． D．

5．如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（       ）

A．与异面但不互相垂直 B．与异面且互相垂直

C．与相交但不互相垂直 D．与相交且互相垂直

6．在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．

7．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

8．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（       ）

A． B． C． D．l与斜交

9．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（       ）

A． B． C． D．

10．在空间直角坐标系中，已知点，向量，则线段AB的中点坐标为（       ）

A． B． C． D．

11．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）

A． B． C． D．

12．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若向量与共线，且方向相同，则x＝______．

14．已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．

15．与向量共线的单位向量是__________________________________．

16．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________. 

三、解答题

17．已知，，．求：

（1）；             

（2）．

18．已知，，且，求x的值．

19．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长．

20．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．

(1)用向量，，表示向量；

(2)求的最小值．

21．在中，，，.

（1）求顶点、的坐标；

（2）求；

（3）若点在上，且，求点的坐标.

参考答案：

1．B

利用空间向量坐标的减法求出，然后利用求模公式求出.

【详解】

解：

当时，取最小值.

故选：B

2．A

根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.

【详解】

由题意得，因为，所以（），

即，解得，

所以.

故选:A

3．C

根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.

【详解】

故选：C

4．B

求出和，利用向量关系即可求出.

【详解】

因为，，则，，

则，

所以与的夹角是.

故选：B.

5．A

根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.

【详解】

解：因为，，所以，

所以与确定一个平面，

所以，

因为，所以与异面，

因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，

平面且，所以平面，又，

所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，

所以，

因为，

所以与不垂直，即与不互相垂直，

故选：A.

6．B

以点为原点建立空间直角坐标系，由可得点的轨迹方程，从而由平面知识即可求出线段AM的长的最小值．

【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，

所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为．

故选：B．

7．C

由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求.

【详解】

∵，，，

∴，

∴，

∴在方向上的投影数量为，

∴点到直线的距离为.

故选：C.

8．B

根据坐标关系可知，再由是平面的法向量，是直线l的方向向量，即得.

【详解】

由题得，，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.

故选：B

本题考查直线和平面的位置关系，是基础题.

9．B

由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.

【详解】

由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，

故①不正确；

当时，，故②不正确；

当时，，即，反之也成立，故③正确.

所以正确命题的个数为：1.

故选：B.

10．C

先根据已知条件求解出点坐标，然后根据中点坐标公式求解出的中点坐标.

【详解】

因为，所以，

所以的中点为，即，

故选：C.

11．A

由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．

【详解】

解：向量，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为．

故选：．

12．C

利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.

【详解】

因点Q在直线上运动，则，有，于是有，

因此，，，

于是得，

则当时，，此时，点Q，

所以当取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

13．

设，且λ＞0，则即可计算值．

【详解】

因为向量与共线，且方向相同，所以，且λ＞0，从而有

，

所以，解得x＝，符合题意．

故答案为：

14．

以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，由，得到a，b的关系，确定a的范围，再由求解.

【详解】

以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

则，设，

所以，

因为，

所以，即，

又，

所以，

所以，当等号成立，

所以 三棱锥的体积最大值为 ，

故答案为：

15．和

利用与共线的单位向量为或求解即可

【详解】

设，则

所以与共线的单位向量为

或，

故答案为：和

结论点睛：本题考查求空间向量的单位向量，利用与共线的单位向量为或求解即可，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

16．

以为原点，建立空间直角坐标系，分别表示出点坐标，再利用向量垂直得，又，结合的代换关系和二次函数性质即可求解

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),设F(x,0,0),D(0,y,0)，

则,，

由于GD⊥EF，所以，

所以，

故，

所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．

故答案为：

建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．建立空间直角坐标系，设出点F，D的坐标，求出向量,，利用GD⊥EF求得关系式，然后可得到DF长度的表达式，最后利用二次函数求最值．

17．（1）9，（2）

（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；

（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解

【详解】

解：（1）因为，，

所以，

因为，

所以，

（2）因为，，，

所以

18．

解方程即得解.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以.

19．

以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则

所以，所以

即的长为.

20．(1)；(2).

(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.

【详解】

(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：

由题意可得，，记，，，

∴()＝.

(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，

易得，，

在中，由余弦定理可得，，

，

当时，取得最小值，

则的最小值为．

21．（1），；（2）；（3）.

（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；

（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；

（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.

【详解】

（1）设点为坐标原点，，

则.

，则；

（2），则，

又，因此，；

（3）设点为坐标原点，，则，

则，

所以，点的坐标为.

本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.