高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念测试题

6.1  平面向量的概念

6.1.2  向量的几何表示

例1  在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.

解：表示A地至B地的位移，且__________________；

表示A地至C地的位移，且__________________.

6.1.3  相等向量与共线向量

例2  如图6.1-8，设O是正六边形的中心.

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与，，相等的向量.

解：（1），，，是共线向量；

，，，是共线向量；

，，，是共线向量.

（2）；

；

.

练习

1.下列量中哪些是向量？

悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.

2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力.（用1cm长表示10N）

3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）

4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.

（1）当与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；

（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系.

习题6.1

复习巩固

1. 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

（1）,点A在点O正南方向；

（2）,点B在点O北偏西方向；

（3）,点C在点O南偏西方向.

【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析

【解析】

【分析】

（1）按照题意要求画图即可；

（2）按照题意要求画图即可；

（3）按照题意要求画图即可；

【详解】解：如图.

【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题.

2. 如图，点O是的对角线的交点，且，分别写出和折线MPQRST中与相等的向量.

【答案】与相等的向量有：；与相等的向量有：；

与相等的向量有：.

【解析】

【分析】

根据相等向量的定义直接求解即可.

【详解】解：与相等的向量有：；

与相等的向量有：；

与相等的向量有：.

【点睛】本题考查了相等向量的定义，属于基础题.

综合运用

3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内写正确，错误的写错误），并说明理由.

3. 若与都是单位向量，则.（        ）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量相等的概念即可得到答案.

【详解】向量相等指的是向量的方向相同，模长相等，与都是单位向量，

则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同.故错误.

故答案为：错误.

4. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量.（      ）

【答案】√

【解析】

【分析】作图分析几何关系即可判断﹒

【详解】如图所示，

分别在O点的南偏西和北偏东作向量与，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以与共线，所以说法正确﹒

故答案为：√

5. 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（        ）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量的定义即可得到答案.

【详解】直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，因为只有方向没有大小，也没有起点.

故答案为：错误.

6. 若与是平行向量，则.（        ）

【答案】错误

【解析】

【分析】根据向量共线的知识确定正确答案.

【详解】与是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，

所以判断错误.

故答案为：错误

7. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（        ）

【答案】√

【解析】

【分析】两个向量相等，大小相等，方向相同﹒

【详解】两个向量相等，则大小相等，方向相同，表示这两个向量的有向线段起点相同，则终点也必然相同﹒由此可判断“若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合”为正确表述﹒

故答案为：√

8. 海拔、温度、角度都不是向量.（        ）

【答案】正确

【解析】

【分析】根据向量的定义得到答案即可.

【详解】这三个量只有大小没有方向，是标量，不是向量.

故答案为：正确.

拓广探索

9. 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？

【答案】24对

【解析】

【分析】

根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可.

【详解】解：相等的非零向量共有24对.

易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.

【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.

变式练习题

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 零向量没有方向 B. 向量就是有向线段

C. 只有零向量的模长等于0 D. 单位向量都相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】零向量的方向是任意的，故A选项错误；

有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；

只有零向量的模长等于0，故C选项正确；

单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.

故选：.

【点睛】本题考查了向量的定义和性质，意在考查学生对于向量基本知识的掌握.

11. 1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．

（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？

（2）是否存在的相反向量？

【答案】（1）11个    （2）存在

【解析】

【分析】（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量长度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量

【小问1详解】

与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个

【小问2详解】

存在，是的相反向量

12. 如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.

【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，

所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，

由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，

故△BDE∽△DCF.

13. 如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，

（1）与的夹角是多少？

（2）与垂直的向量有哪些？

【答案】（1）45°    （2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解.

(2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解.

【小问1详解】

因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，

则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°，

所以与的夹角为45°.

【小问2详解】

因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，

显然，BF是圆O的直径，，，如图：

所以与垂直的向量有：.

14. 下列说法正确的是（    ）

A. 向量与共线，与共线，则与也共线

B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C. 向量与不共线，则与都是非零向量

D. 有相同起点的两个非零向量不平行

【答案】C

【解析】

【分析】根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.

【详解】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；

对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；

对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；

对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．

故选：C.