高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示综合训练题

6.3  平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1  平面向量基本定理

例1  如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．

解：因为，

所以

．

例2  如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．

分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．

证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.

.

因为，

所以.

因为，，

所以.

因此.

于是是直角三角形.

练习

1. 如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．

【答案】；；；．

【解析】

【分析】

直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。

【详解】解：；

；

；

．

【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。

2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．

（1）用表示，，；

（2）能由（1）得出，的关系吗？

【答案】（1），，；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。

（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系

【详解】解：（1）

，

，

．

（2）由（1）知，，，∴，即．

【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。

3. 如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．

（1）用表，．

（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．

【答案】（1），；（2），证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，

（2）设，则，．计算即可。

【详解】解：（1）；

．

（2），证明如下：设，则，．

．

∴，∴．

【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

例3  如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.

解：由图6.3-10可知，，

所以

同理，

，

，

.

6.3.3  平面向量加、减运算的坐标表示

例4  已知，，求，的坐标.

解：，

.

例5  如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.

解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.

因为，

，

又，

所以.

即解得，

所以顶点D的坐标为.

解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知

，

而

.

所以顶点D的坐标为.

练习

4. 在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算法则计算可得.

【详解】解：

（1）；

．

（2）；．

（3）；．

（4）；．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

5. 在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．

【解析】

【分析】

根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.

【详解】解：（1）,

；．

（2），

；．

（3），

；．

（4），

；．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

6. 若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．

【答案】平行，证明见解析

【解析】

【分析】

求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.

【详解】解：．

证明如下：因为，，所以．

又因为与不共线，

所以．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.

6.3.4  平面向量数乘运算的坐标表示

例6  已知，，求的坐标.

解：

.

例7  已知，，且，求.

解：因为，

所以.

解得.

例8  已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.

解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.

观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.

因为，

，

又，

所以.

又直线，直线有公共点A，

所以A，B，C三点共线.

例9  设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.

（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.

解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知

.

所以，点P的坐标是.

（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.

如果（图6.3-17（1）），那么

，

即点P的坐标是.

同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.

练习

7. 已知，，求，的坐标．

【答案】（-6，-8），（12,5）

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算法则计算即可．

【详解】解：，

；

．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

8. 当为何值时，与共线？

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.

【详解】解：，，

，解得时，

时，与共线．

【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．

9. 若点，，，，则与是否共线？

【答案】共线

【解析】

【分析】

首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.

【详解】解：，，，

，．

∵，

∴与共线．

【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.

10. 求线段的中点坐标：

（1）；（2）；（3）．

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

【分析】

根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得

【详解】解：（1）

，，∴的中点坐标为；

（2）

，，∴的中点坐标为；

（3）

，，∴的中点坐标为．

【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.

11. 已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．

【答案】或

【解析】

【分析】

．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．

【详解】解：，

．

点是线段的三等分点，

，或者．

，

或．

或．

∴P点的坐标为或．

【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．

6.3.5  平面向量数量积的坐标表示

例10  若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.

解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：

因为，

，

所以..

于是.

因此，是直角三角形.

例11  设，，求及，的夹角（精确到1°）.

解：

因为，，所以用计算器计算可得

.

利用计算器中的“”键，得.

例12  用向量方法证明两角差的余弦公式

.

证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则

，.

由向量数量积的坐标表示，有

.

设与的夹角为，则

.

所以.

另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以

.

于是.

练习

12. 已知，，求，，．

【答案】，，

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算求解即可.

【详解】解：,,．

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.

13. 已知．求．

【答案】，

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.

【详解】解：,,

,

【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.

14. 已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：∵,

∴．又∵,∴．

【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.

习题6.3

复习巩固

15. 如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.

【答案】，

【解析】

【分析】

根据向量的加减运算法则，，分别代换即可.

【详解】解：

【点睛】此题考查平面向量基本运算，根据线性运算法则求解即可.

16. 已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量加法的坐标运算即可.

【详解】解：.

【点睛】此题考查力的合成，根据向量加法关系求解.

17. 在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标.

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据，，求出点的坐标；

（2）根据，，求出点的坐标；

（3）根据，，求出点的坐标.

【详解】（1），

.

（2）,，

（3），

【点睛】此题考查向量的加减运算，用端点坐标表示向量.

18. 已知的顶点，，，求顶点D的坐标．

【答案】(1，5)﹒

【解析】

【分析】由平行四边形可得：，于是．

【详解】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，

，，，．

∴D的坐标为(1，5)﹒

19. 已知点，且，求点及向量的坐标.

【答案】，，

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算法则，结合的坐标形式，求出点的坐标.

【详解】解：因为，所以点的坐标为.

因为，所以点的坐标为.

所以向量.

【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.

20. 已知点，且,求点C，D，E的坐标.

【答案】C，D，E

【解析】

【分析】

根据向量线性运算法则，依次求出，，的坐标表示，再结合点坐标，求出点C，D，E的坐标.

【详解】解：设O为坐标原点，则.

,，

所以点C的坐标为；

，所以点D的坐标为；

，所以点E的坐标为.

【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.

21. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）三点共线，证明见解析；（2）三点共线，证明见解析；（3）三点共线，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）通过计算：，三点共线；

（2）通过计算：，三点共线；

（3）通过计算：，三点共线.

【详解】解：（1）A，B，C三点共线、因为，所以，因为直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.

（2）P，Q,R三点共线，因为，所以.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线.

（3）E，F，G三点共线，因为，所以.因为直线EF与EC有公共点E，所以E，F，G三点共线.

【点睛】此题考查利用平面向量处理三点共线问题，准确进行线性运算求解.

22. 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）结合图象通过计算得：得直角三角形；

（2）结合图象通过计算得：得直角三角形；

（3）结合图象通过计算得：得直角三角形.

【详解】解：（1）如图，为直角三角形，证明如下：

,

.

为直角三角形.

（2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：

为直角三角形.

（3）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：

为直角三角形.

【点睛】此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状.

23. 已知，且，求的坐标.

【答案】或

【解析】

【分析】

设，根据模长关系和平行关系列方程组求解.

【详解】解：设，则，解得：或

于是或.

【点睛】此题考查平面向量的模长关系和平行关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.

24. 已知，求与垂直的单位向量的坐标.

【答案】或

【解析】

【分析】

设与垂直的单位向量，通过模长关系和垂直关系列方程组即可求解.

【详解】解：设与垂直的单位向量，则，解得：或

于是或.

【点睛】此题考查平面向量的模长关系和垂直关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.

综合运用

25. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.

（1）用表示；

（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

【答案】（1），；（2），证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量运算法则，依次代换即可表示；

（2）根据（1）的表示形式计算，则.

【详解】解：（1）

（2）.证明如下：

由（1）知，，

【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算，通过非零向量数量积为零判定向量垂直.

26. 已知点.当时，分别求点P的坐标.

【答案】当时，点 P的坐标分别为：，，，.

【解析】

【分析】

根据分别计算时的坐标.

【详解】解：

当时，，所以；

当时，所以

当时，，所以；

当时，，所以.

【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据向量关系求点的坐标.

27. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．

【答案】

【解析】

【分析】根据点在线段的延长线上，且，可得，可得．

【详解】点在线段的延长线上，且，

，

，，，．

所以点P的坐标为

28. 求证：以为顶点的四边形是一个矩形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

分别利用坐标计算即可得证

【详解】证明：因为，

，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.

，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.

【点睛】此题考查向量的相等和垂直的判断，考查平面向量数量积的运算.

拓广探索

29. 如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，

（1）计算的大小；

（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.

【答案】（1）；（2）合理

【解析】

【分析】

（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；

（2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得.

【详解】解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以.

（2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.

【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析

30. 用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

构造向量，根据数量积的坐标表示证明.

【详解】证明：构造向量.

（其中为向量u，v的夹角）.

所以，

所以.

【点睛】此题考查平面向量数量积的坐标表示证明不等式，关键在于准确建立模型求解.