还剩35页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共38页。试卷主要包含了证明， 在中，已知，，，求、．等内容，欢迎下载使用。
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以，
于是，.
例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
练习
1.证明：等腰三角形的两个底角相等.
2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.
3.如下图，在中，点O是BC中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.
6.4.2 向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
.
这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.
例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图6.4-7，设，则
.
此时，船的航行时间
.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习
1.一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求对该物体所做的功.
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和.此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小.
3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求：
（1）的大小；
（2）与夹角的大小.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
例5在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：由余弦定理，得
，
所以.
由余弦定理的推论，得
，
利用计算器，可得.
所以.
例6在中，，，锐角C满足，求B（精确到1°）.
分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
解：因为，且C为锐角，
所以.
由余弦定理，得
，
所以.
进而.
利用计算器，可得
练习
1.（1）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
（2）在中，已知，，，求C.
2.在中，已知，，，解这个三角形.
例7在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
，
.
例8在中，已知，，，解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
解：由正弦定理，得
.
因为，，
所以.
于是，或.
（1）当时，.
此时
.
（1）当时，.
此时
.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习
1.完成下列解三角形问题（角度精确到，边长精确到1cm）；
（1）在中，已知，，；
（2）在中，已知，，.
2.（1）在中，已知，，，求b和C；
（2）在中，已知，，，求C.
例9如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
解：如图6.4-13，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，并且在C，D两点分别测得，，，.
在和中，由正弦定理，得
，
.
于是，在中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
.
例10如图6.4-15，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得以点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一点D，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出.
解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，，测角仪器的高是h.那么，在中，由正弦定理，得
.
所以，这座建筑物的高度为
.
例11位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图.
解：根据题意，画出示意图（图6.4-16）.由余弦定理，得
.
于是
由正弦定理，得，
于是.
由于，
所以.
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行24 n mile.
练习
1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东的方向上.已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
2.如下图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为.求证：山高.
3.如下图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到，距离精确到0.01 n mile）
习题6.4
复习巩固
1. 已知非零向量与满足且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知数量积相等，结合数量积的定义可得出，再由数量积的定义求得，从而判断出三角形形状．
【详解】解：中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
2. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心
C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
视频
3. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则，通过计算可得结果．
【详解】证明：如图，
设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则.
,即为直角.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，是基础题．
4. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）通过计算可得；
（2）根据投影公式计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）设与的夹角为，
则，
所以在上的投影向量为：．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量的几何意义，是基础题．
5. 一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
【答案】（1）此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【解析】
【分析】
（1）设人游泳的速度为，水流的速度为，根据向量加法的运算法则进行求解；
（2）根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解．
【详解】解：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.
在中，，所以，
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，
所以，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【点睛】本题主要考查向量在物理中的应用，结合向量加法的运算法则以及向量夹角的定义是解决本题的关键．
6. 在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到）：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）运用余弦定理，可得，再由正弦定理可得角，由内角和定理，可得角．
（2）由余弦定理和内角和定理，可解三角形．
【详解】解：（1）由余弦定理可得，，
解得，
由正弦定理可得，
则锐角，
则角，
则有；
（2）由余弦定理可得，
，
，，
，
则有．
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
7. 在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：
（1）；
（2）.
【答案】（1）.
（2）或.
【解析】
【分析】
利用正弦定理，结合角的正弦值，注意运用三角形的边角关系和内角和定理，即可解三角形．
【详解】（1），
，
，
故；
（2）由正弦定理得，
则或，
当，；
当．
故或.
【点睛】本题考查正弦定理，考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．
8.
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
【答案】
【解析】
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
9. 在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【解析】
【分析】
先作图，根据图像算出气象台所在地距离台风中心的距离即可判断是否会受到台风的影响；另外利用余弦定理，算出会受到台风影响的临界点，进而可得受到影响的时间．
【详解】解：如图
设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，
解得，
，
∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，关键是要求出受台风影响的临界点，是中档题．
10. 在中，已知，，，求、．
【答案】，．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系计算出的值，利用正弦定理可求出的值，利用两角和公式求得的值，然后利用正弦定理可求出的值.
【详解】由，可知角为锐角，则．
由正弦定理，得．
，
由正弦定理，得．
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
综合运用
11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
【答案】.
【解析】
【分析】
先通过题意求出的坐标，再利用得结果．
【详解】解：由已知
，
，
∴点的坐标为.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是题目给出的运算规律的理解和应用，是基础题．
12. 如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
【答案】
【解析】
【分析】
即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．
【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．
13. 一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【答案】当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短，计算见解析
【解析】
【分析】
求出速度往船垂直于对岸方向的分解速度，再利用距离除以速度等于时间来球结果即可．
【详解】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是求出往运动方向上的分解速度，是基础题。
14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为.
【解析】
【分析】
作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果．
【详解】解：如图
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
∴小船航行速度的大小为.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。
15. 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将余弦定理代入整理即可，同理可以证明其余两式.
【详解】证明：根据余弦定理得，
所以，
所以，
同理可得，.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，是基础题．
16. 在中，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边.
【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立.
【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.
17. 证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中可证明；若A是直角，可直接得；若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中可证明．
【详解】证明：（1）若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中，，即.
（2）若A是直角（如图②所示），在中，可直接得;
（3）若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中，，即.
由（1）（2）（3）得.
同理可证，.
【点睛】本题考查了正弦定理及其三角形外接圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18. 在中，已知，，锐角满足，求（精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】
求出的值，利用余弦定理求出，然后利用余弦定理求出的值，即可得出角的值.
【详解】，且为锐角，，
，，
，，．
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的类型，考查计算能力，属于基础题.
拓广探索
19. 如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【答案】，证明见解析.
【解析】
【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.
【详解】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
20. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）设三角形的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，则由余弦定理可得，求出并代入三角形面积公式，设，则，即可化简得证；
（2）由（1）可得．而又因为，，结合上述两式即可得证；
（3）由三角形面积公式可得，即可得解．
【详解】证明：（1）根据余弦定理的推论得，
则，代入，
得
又，
所以，
代入可得；
（2）因为，所以三角形的周长，
又三角形的面积，其中r为内切圆半径，
所以；
（3）根据三角形的面积公式，
得.
同理可证，.
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式，平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题．
21. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：
（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；
（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）需要测量的数据有到的的俯角，到的的俯角，之间的距离，得到答案.
（2）根据正弦定理得到，，再根据余弦定理得到答案.
【小问1详解】
需要测量的数据：
到的的俯角，到的的俯角，之间的距离.
【小问2详解】
第一步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第二步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第三步：计算
中，根据余弦定理：，
即
.
22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；
（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.
【小问1详解】
由及正弦定理得
.
因为，
所以.
由于，
所以.
又，故.
【小问2详解】
由题得的面积，故①.
而，且，故②，
由①②得.
视频
变式练习题
23. 如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为F1.
（1）判断|F1|， |F2|随θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
【答案】（1）当从趋近时，都逐渐增大.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量运算得到，，，得到答案.
（2），，解得范围.
【小问1详解】
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：，
如图，根据直角三角形可得，.
当从趋近时，都逐渐增大.
【小问2详解】
令，因为，得，所以.
故角的取值范围为.
24. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到，推出，再由题中数据，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的运算法则，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.
25. 如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
26. 设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案.
【详解】·＝·，故，即，故；
同理可得：，，故O是的垂心.
27. 两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，
（1）写出此时AB所在直线方程；
（2）计算在上的投影向量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，得到直线方程.
（2）在上的投影向量为，计算得到答案.
【小问1详解】
，故方程为，即.
【小问2详解】
在上的投影向量为.
28. 已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明：
（1）c＝bcosA＋acosB；
（2）c2＝a2＋b2－2abcosC.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】根据线段的几何关系有＝＋，
（1）将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.
（2）将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.
【小问1详解】
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosA＋||||cosB，
∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB；
【小问2详解】
∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，
∴c2＝a2＋b2－2abcosC.
29. 试用向量法证明勾股定理
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先用文字语言叙述勾股定理，再用向量法进行证明.
【详解】已知：△ABC为直角三角形，A=90°.
求证：.
证明：在△ABC中，由向量的加法得：，
所以.
因为A=90°，所以，
所以，所以.
即证.
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以，
于是，.
例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图6.4-4，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
练习
1.证明：等腰三角形的两个底角相等.
2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.
3.如下图，在中，点O是BC中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.
6.4.2 向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
.
这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.
例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.
如图6.4-7，设，则
.
此时，船的航行时间
.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习
1.一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求对该物体所做的功.
2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和.此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小.
3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求：
（1）的大小；
（2）与夹角的大小.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
例5在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.
解：由余弦定理，得
，
所以.
由余弦定理的推论，得
，
利用计算器，可得.
所以.
例6在中，，，锐角C满足，求B（精确到1°）.
分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
解：因为，且C为锐角，
所以.
由余弦定理，得
，
所以.
进而.
利用计算器，可得
练习
1.（1）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到0.1cm）；
（2）在中，已知，，，求C.
2.在中，已知，，，解这个三角形.
例7在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
.
由正弦定理，得
，
.
例8在中，已知，，，解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
解：由正弦定理，得
.
因为，，
所以.
于是，或.
（1）当时，.
此时
.
（1）当时，.
此时
.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习
1.完成下列解三角形问题（角度精确到，边长精确到1cm）；
（1）在中，已知，，；
（2）在中，已知，，.
2.（1）在中，已知，，，求b和C；
（2）在中，已知，，，求C.
例9如图6.4-12，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.
分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
解：如图6.4-13，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得，并且在C，D两点分别测得，，，.
在和中，由正弦定理，得
，
.
于是，在中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
.
例10如图6.4-15，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得以点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一点D，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出.
解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，，测角仪器的高是h.那么，在中，由正弦定理，得
.
所以，这座建筑物的高度为
.
例11位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图.
解：根据题意，画出示意图（图6.4-16）.由余弦定理，得
.
于是
由正弦定理，得，
于是.
由于，
所以.
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行24 n mile.
练习
1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东的方向上.已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
2.如下图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为.求证：山高.
3.如下图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到，距离精确到0.01 n mile）
习题6.4
复习巩固
1. 已知非零向量与满足且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知数量积相等，结合数量积的定义可得出，再由数量积的定义求得，从而判断出三角形形状．
【详解】解：中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
2. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心
C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
视频
3. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则，通过计算可得结果．
【详解】证明：如图，
设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则.
,即为直角.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，是基础题．
4. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）通过计算可得；
（2）根据投影公式计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）设与的夹角为，
则，
所以在上的投影向量为：．
【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量的几何意义，是基础题．
5. 一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？
【答案】（1）此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【解析】
【分析】
（1）设人游泳的速度为，水流的速度为，根据向量加法的运算法则进行求解；
（2）根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解．
【详解】解：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.
在中，，所以，
实际前进的速度，
故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；
（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.
在中，，
所以，
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.
【点睛】本题主要考查向量在物理中的应用，结合向量加法的运算法则以及向量夹角的定义是解决本题的关键．
6. 在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到）：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）运用余弦定理，可得，再由正弦定理可得角，由内角和定理，可得角．
（2）由余弦定理和内角和定理，可解三角形．
【详解】解：（1）由余弦定理可得，，
解得，
由正弦定理可得，
则锐角，
则角，
则有；
（2）由余弦定理可得，
，
，，
，
则有．
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
7. 在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：
（1）；
（2）.
【答案】（1）.
（2）或.
【解析】
【分析】
利用正弦定理，结合角的正弦值，注意运用三角形的边角关系和内角和定理，即可解三角形．
【详解】（1），
，
，
故；
（2）由正弦定理得，
则或，
当，；
当．
故或.
【点睛】本题考查正弦定理，考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．
8.
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
【答案】
【解析】
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
9. 在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【解析】
【分析】
先作图，根据图像算出气象台所在地距离台风中心的距离即可判断是否会受到台风的影响；另外利用余弦定理，算出会受到台风影响的临界点，进而可得受到影响的时间．
【详解】解：如图
设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，
解得，
，
∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，关键是要求出受台风影响的临界点，是中档题．
10. 在中，已知，，，求、．
【答案】，．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系计算出的值，利用正弦定理可求出的值，利用两角和公式求得的值，然后利用正弦定理可求出的值.
【详解】由，可知角为锐角，则．
由正弦定理，得．
，
由正弦定理，得．
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
综合运用
11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.
【答案】.
【解析】
【分析】
先通过题意求出的坐标，再利用得结果．
【详解】解：由已知
，
，
∴点的坐标为.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是题目给出的运算规律的理解和应用，是基础题．
12. 如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
【答案】
【解析】
【分析】
即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．
【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．
13. 一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【答案】当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短，计算见解析
【解析】
【分析】
求出速度往船垂直于对岸方向的分解速度，再利用距离除以速度等于时间来球结果即可．
【详解】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是求出往运动方向上的分解速度，是基础题。
14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为.
【解析】
【分析】
作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果．
【详解】解：如图
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
∴小船航行速度的大小为.
【点睛】本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。
15. 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将余弦定理代入整理即可，同理可以证明其余两式.
【详解】证明：根据余弦定理得，
所以，
所以，
同理可得，.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，是基础题．
16. 在中，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边.
【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立.
【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.
17. 证明：设三角形的外接圆的半径是R，则.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中可证明；若A是直角，可直接得；若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中可证明．
【详解】证明：（1）若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中，，即.
（2）若A是直角（如图②所示），在中，可直接得;
（3）若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中，，即.
由（1）（2）（3）得.
同理可证，.
【点睛】本题考查了正弦定理及其三角形外接圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18. 在中，已知，，锐角满足，求（精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】
求出的值，利用余弦定理求出，然后利用余弦定理求出的值，即可得出角的值.
【详解】，且为锐角，，
，，
，，．
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的类型，考查计算能力，属于基础题.
拓广探索
19. 如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【答案】，证明见解析.
【解析】
【分析】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.
【详解】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
20. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）设三角形的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，则由余弦定理可得，求出并代入三角形面积公式，设，则，即可化简得证；
（2）由（1）可得．而又因为，，结合上述两式即可得证；
（3）由三角形面积公式可得，即可得解．
【详解】证明：（1）根据余弦定理的推论得，
则，代入，
得
又，
所以，
代入可得；
（2）因为，所以三角形的周长，
又三角形的面积，其中r为内切圆半径，
所以；
（3）根据三角形的面积公式，
得.
同理可证，.
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式，平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题．
21. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：
（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；
（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）需要测量的数据有到的的俯角，到的的俯角，之间的距离，得到答案.
（2）根据正弦定理得到，，再根据余弦定理得到答案.
【小问1详解】
需要测量的数据：
到的的俯角，到的的俯角，之间的距离.
【小问2详解】
第一步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第二步：计算
中，根据正弦定理：，故.
第三步：计算
中，根据余弦定理：，
即
.
22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；
（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.
【小问1详解】
由及正弦定理得
.
因为，
所以.
由于，
所以.
又，故.
【小问2详解】
由题得的面积，故①.
而，且，故②，
由①②得.
视频
变式练习题
23. 如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受的拉力为F1.
（1）判断|F1|， |F2|随θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
【答案】（1）当从趋近时，都逐渐增大.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量运算得到，，，得到答案.
（2），，解得范围.
【小问1详解】
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：，
如图，根据直角三角形可得，.
当从趋近时，都逐渐增大.
【小问2详解】
令，因为，得，所以.
故角的取值范围为.
24. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到，推出，再由题中数据，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的运算法则，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.
25. 如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【详解】∵·＝·＝2－2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
26. 设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案.
【详解】·＝·，故，即，故；
同理可得：，，故O是的垂心.
27. 两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，
（1）写出此时AB所在直线方程；
（2）计算在上的投影向量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，得到直线方程.
（2）在上的投影向量为，计算得到答案.
【小问1详解】
，故方程为，即.
【小问2详解】
在上的投影向量为.
28. 已知在△ABC中BC， CA， AB的长分别为a， b， c，试用向量方法证明：
（1）c＝bcosA＋acosB；
（2）c2＝a2＋b2－2abcosC.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】根据线段的几何关系有＝＋，
（1）将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义，即可证结论.
（2）将上式两边平方，应用平面向量数量积的运算律及定义，可证结论.
【小问1详解】
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosA＋||||cosB，
∴c2＝bccosA＋accosB，则c＝bcosA＋acosB；
【小问2详解】
∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即c2＝b2＋a2＋2b·acos(180°－C)，
∴c2＝a2＋b2－2abcosC.
29. 试用向量法证明勾股定理
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先用文字语言叙述勾股定理，再用向量法进行证明.
【详解】已知：△ABC为直角三角形，A=90°.
求证：.
证明：在△ABC中，由向量的加法得：，
所以.
因为A=90°，所以，
所以，所以.
即证.
相关试卷
高中第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时训练： 这是一份高中<a href="/sx/tb_c4000293_t7/?tag_id=28" target="_blank">第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时训练</a>，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题： 这是一份数学必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000293_t7/?tag_id=28" target="_blank">6.4 平面向量的应用综合训练题</a>，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练： 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练，共8页。
