2022年湖南省长沙市芙蓉区中考数学二模试卷

这是一份2022年湖南省长沙市芙蓉区中考数学二模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省长沙市芙蓉区中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣2，1，2，1，4，6中正确的是（ ）
A．平均数3 B．众数是﹣2 C．中位数是1 D．极差为8
2．一次函数y＝﹣2x+5不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB的度数为（　　）

A．42° B．48° C．90° D．52°
4．下列命题中，假命题是（   ）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．如果，，那么
5．下图均由正六边形与两条对角线所组成，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
6．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从10000亿元增加到28000亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将数据28000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
7．四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（　　）
A．﹣ B．1 C．2 D．
8．随机抛掷两个均匀的骰子（六个面标记的数字分别是1，2，3，4，5，6），两个骰子点数之和是10的概率是（    ）
A． B． C． D．
9．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．下列事件是必然事件的是（    ）
A．如果，那么
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．抛出的篮球会下落
D．三角形的内角和是
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．某学校在“你最喜爱的课外活动项目”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一个活动项目），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知“最喜爱机器人”的人数比“最喜爱 打印”的人数少 人，则被调查的学生总人数为______．

12．因式分解：3x﹣6y=_____．
13．如图，在中，各边的长度如图所示，平分交于点，则点到的距离是_____.

14．若a是x2-3x-2021＝0的一个根，则a2-3a＋1的值是__________．
15．如图，是的中线，，则的长为______________．

16．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点，若，则圆环的面积是________．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．化简：﹣3m2n﹣2（﹣5m2n+2mn）+mn．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数．

20．图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
（1）在图①中画一个BCD，使△DBC≌ABC全等；
（2）在图②中画一个ACE使它与ABC全等．

21．已知，如图在中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．

(1)如图1，求证：AE＝CF；
(2)如图2，延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
22．年月日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．年女排世界杯的参赛队伍为支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以或者取胜的球队积分，负队积分；而在比赛中以取胜的球队积分，负队积分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．
（1）中国队场胜场中只有一场以取胜，请将中国队的总积分填在表格中，
（2）巴西队积分取胜的场次比积分取胜的场次多场，且负场积分为分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分

中国



________

美国





俄罗斯





巴西





23．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共100个，从中任意摸出一球，摸到红、黄球的概率分别为0.2和0.3，
(1)试求蓝色球的数量；
(2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值．
24．如图1，在直角坐标系中，点C在第一象限，且为等腰直角三角形，，已知点，点，且a，b满足．

(1)______，______；
(2)求点C的坐标；
(3)如图2，点D在y轴上，且，连接与相交于点Q，延长与相交于点P，判断与的位置与数量关系，并证明．
25．已知抛物线y = mx2 -(1- 4 m)x + c过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．
①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证： = ．














参考答案：
1．【考点】平均数，众数，中位数，极差
【分析】根据平均数、众数、中位数、极差的定义可求．
解：这组数据的平均数为：（﹣2+1+2+1+4+6）÷6=12÷6=2；
在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1；
将这组数据从小到大的顺序排列为：﹣2，1，1，2，4，6，处于中间位置的两个数是1，2， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是：（1+2）÷2=1.5；
极差6﹣（﹣2）=8．
故选D．
【点评】本题考查平均数；众数；中位数；极差．
2．【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数y＝﹣2x+5经过第一、二、四象限．
解：∵a＝﹣2＜0，
∴图象经过第二、四象限，
∵k＝5＞0，
∴一次函数图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝﹣2x+5经过第一、二、四象限．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
3．【考点】圆周角定理，直角三角形的性质
【分析】由圆周角定理得出∠BAC＝90°，∠B＝∠ADC＝48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝48°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．【考点】命题与定理
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
5．【考点】轴对称图形与中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行判断即可得．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．
6．【考点】科学记数法-表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：28000用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
7．【考点】实数的大小比较
【分析】利用零大于一切负数来比较即可．
解：根据负数都小于零可得，﹣＜0，故A正确．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
8．【考点】列表法求概率
【分析】根据题意列表求概率．
解：列表如下：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
共36种情形，其中和为10的有3种，
故两个骰子点数之和是10的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
9．【考点】合并同类项，单项式的乘法与除法，积的乘方
【分析】根据合并同类项，单项式的乘法与除法，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式的乘法与除法，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
10．【考点】必然事件，不可能事件，随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
解：A、如果，则有a=±b,故A不是必然事件；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B不是必然事件；
C、抛出的篮球会下落，是必然事件；
D、三角形的内角和是180°，故D是不可能事件.
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11．【考点】统计图，用样本估计总体
【分析】由扇形统计图可知“最喜爱机器人”的百分比为
比“最喜爱 打印”的百分比少10%，利用样本估计总体可得被调查的学生总人数为
.
解：“最喜爱机器人”的百分比为
，，所以被调查的学生总人数为50.
故答案为：50
【点评】本题考查了数据的收集，合理利用统计图中的数据用样本估计总体是解题的关键.
12．【考点】分解因式
【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可.
.
故答案为：.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.
13．【考点】角平分线的性质
【分析】先过点D作DE⊥AB于E，再利用角平分线的性质，求得点D到AB的距离．
解：过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，
∴DC=DE=3，
即点D到AB的距离是3,
故答案为3.
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行求解．
14．【考点】一元二次方程的解
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
a是的一个根，
，
，
，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的数学思想，准确理解方程根的概念是解题的关键．
15．【考点】三角形中线的定义
【分析】根据三角形的中线的定义即可求解．
解：是的中线，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形中线的定义，掌握中线的定义是解题的关键．
16．【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理
【分析】如图，连接、，设，，由切线的性质得，，由垂径定理得，，由勾股定理得，，由即可求出圆环的面积．

如图，连接、，设，，
大圆的弦切小圆于点，
，
，
，
在中，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及圆与圆环的面积计算，掌握圆的相关知识是解题的关键．
17．【考点】整式的加减
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简．
原式＝﹣3m2n+10m2n﹣4mn+mn
＝7m2n﹣3mn．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号，括号前面是“-”，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号）是解题的关键．
18．【考点】二次根式的混合运算，实数的混合运算
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法运算法则及二次根式加减混合运算法则即可求解．
（2）根据实数的混合运算及二次根式的除法运算法则即可求解．
（1）解：原式
．
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19．【考点】等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，可得，即可求解．
解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
【点评】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质是解题关键．
20．【考点】作图−应用与设计作图、全等三角形的判定
【分析】（1）根据网格即可在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等；
（2）根据网格即可在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
解：（1）如图①，△BCD即为所求；
（2）如图②，△ACE即为所求．

【点评】本题考查了作图−应用与设计作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
21．【考点】三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OA=OC，又因为 ，OE=OF，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）得，根据全等三角形的性质可得，进而可得 ；根据平行四边形的性质可得 ，进而可证四边形AHCG是平行四边形，从而得出AH=CG．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC
又 ，OE=OF
∴(SAS)
∴AE=CF．
（2）证明：由（1）得，
∴
∴
四边形ABCD是平行四边形
∴
即
∴四边形AHCG是平行四边形
∴AH=CG．
【点评】本题考查了三角形全等的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握性质与判定定理是解决本题的关键．
22．【考点】一元一次方程的应用
【分析】(1) 根据比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，在比赛中以3-2取胜的球队积2分，结合表格和已知条件即可得出；
(2)设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x-5)场，根据巴西队的总积分为21分，列出方程解方程即可得出答案．
（1）解：比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，在比赛中以3 -2取胜的球队积2分，中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，中国队的总积分=，
故答案为：32；
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x-5)场，依题意可列方程
3x+2(x-5)+1=21
3x+2x-10+1= 21
5x= 30
x=6，
则积2分取胜的场数为x-5=1，所以取胜的场数为6+1=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了由一元一次方程的应用，有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元-次方程是解题的关键．
23．【考点】概率，一元一次方程的应用
【分析】（1）先用1减去红球和黄球的概率，得到蓝色球的概率，再用所有的球数乘以蓝色球的概率，即可得出答案；
（2）设放进a个红球，根据红球的概率为列出方程，解方程即可得出答案．
（1）（个）；
答：蓝色球的数量为50个；
（2）设放进a个红球，则：，
解得，，
∴放进20个红球．
【点评】本题考查的概率，找到相应的关系式是解决本题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．【考点】全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）由算术平方根和偶次方的非负性质得，且即可得答案；
（2）过作于，证（ASA），得，，则，因此；
（2）由题意易知，，为等腰直角三角形，可得，由，可得，，利用三角形内角和借对顶角，可证，由等腰三角形性质可证（ASA），可得，即可得断与的位置与数量关系．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，；
故答案为：1，2；
（2）由（1）可知，，，则：，，
过作于，则：，则：，

∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴
在和中，，
∴（ASA），
∴，，
则，
∴；
（3）且，理由如下：
∵，
∴为等腰直角三角形，即：，
又由（1）知，，，则，
∴为等腰直角三角形，即：，
又由（1）知，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，则，
∵，，
∴，即：，
在和中，，
∴（ASA），
∴，
综上，且．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）把(0，−1)代入解析式中得c的值，再由(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称且关于y轴对称，可知抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0，从而可求得m，最后得到解析式；
（2）①过点D作y轴的平行线交AB于点H；由点A在抛物线上及点A的横坐标可求得点A的坐标，从而求得直线AB的解析式，联立直线解析式与二次函数解析式，可求得点B的坐标，从而可求得△ABC的面积；设点D的坐标为，则可得点H的坐标，从而求得DH的长，由，即可求得n的值，从而求得点D的坐标；
②由题意知，点D在第四象限，设OD的解析式为y=kx，，，联立OD的解析式与二次函数解析式，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得及的值，从而可得及的值，可得；过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，则由平行线分线段成比例定理可得：，，由可证结论成立．
（1）把(0，−1)代入解析式中，得c＝−1
∵(1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称，且又关于y轴对称
∴抛物线的对称轴为y轴，即1−4m=0
∴
故所求函数解析式为
（2）过点D作y轴的平行线交AB于点H，如图
∵点A在抛物线上，点A的横坐标4
∴
∴点A的坐标为(4，3)
设直线AB的解析式为y=ax，把点A坐标代入得：
即直线AB解析式为
联立与二次函数，即
消去y，得
解得（舍去）
∴
即点B的坐标
∵OC=1

设点D的坐标为，则可得点H的坐标为
∴
∵
∴
即
∴DH=1
即
解得n=3，n=0(舍去)
当n=3时，
∴点D的坐标为

②由题意知，点D在第四象限，点E在第二象限
设OD的解析式为y=kx，，，则
联立
消去y得关于x的一元二次方程
由题意知，是此一元二次方程的两个实数根
由根与系数的关系可得：，
∴，
∴
即
过点E作y轴的平行线交x轴于点G，过点D、F作x轴的平行线交EG于点N、M，如图
则DN∥FM∥OG
∴，
∵ ，
∴
即
∴ =

【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程及二元方程组，一元二次方程根与系数的关系，平行线分线段成比例定理，割补法求图形面积等知识，这里尽管设了D、E的坐标，但没有求出其坐标，这是一种设而不求的重要方法，本题有较大的运算量，对运算能力提出了较高的要求.