人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时训练

6.3.1  平面向量基本定理

例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．

解：因，

所以

．

例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．

分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．

证明：如图6.3-6，设，，则，，于.

.

因为，

所以.

因为，，

所以.

因此.

于是是直角三角形.

练  习

1. 如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．

【答案】；；；．

【解析】

【分析】

直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。

【详解】解：；

；

；

．

【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。

2. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．

（1）用表示，，；

（2）能由（1）得出，的关系吗？

【答案】（1），，；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。

（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系

【详解】解：（1）

，

，

．

（2）由（1）知，，，∴，即．

【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。

3. 如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．

（1）用表，．

（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．

【答案】（1），；（2），证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，

（2）设，则，．计算即可。

【详解】解：（1）；

．

（2），证明如下：设，则，．

．

∴，∴．

【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。

变式练习题

4. 在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.

【详解】解：如下图所示，

由平面向量的加法法则可得，

，，

因为，

所以，，解得，因此，.

故答案为：.

5. 若向量不共线，且（其中），求证：共线．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据题设条件和向量的运算法则，化简得到，结合向量与有公共点，即可证得三点共线．

【详解】由题意，向量不共线，且（其中），

可得，

所以，即，所以，

由向量与有公共点，所以三点共线．

6. 如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.

【答案】4∶1.

【解析】

【详解】设=e1,=e2,

则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.

∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,

使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.

故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,

而=+=2e1+3e2,

∴∴

∴=,∴=,即AP∶PM=4.

7. 如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

【答案】＝a＋b.

【解析】

【详解】设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，

＝－＝－＝－a＋b.

又∵A，M，D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即(m－1)a＋nb＝t.

∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.

∴消去t得m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C，M，B三点共线，∴与共线．

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴消去t1得4m＋n＝1.②

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.

8. .如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果.

【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得

，

又三点共线，所以存在实数，使得,

由于不共线，所以,解得.

故.

因为三点共线，所以存在实数，使得,

消去,得＋＝1.