湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

这是一份湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数  学时量：120分钟  满分：150分得分                 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设（其中i为虚数单位），则A．    B．    C．    D．2．已知为奇函数，则的值为A．     B．1     C．     D．3．已知是等比数列，且．若，则A．±2     B．2     C．－2     D．44．已知圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为r，且，若底面半径同为r且体积与圆锥相等的圆柱高为，则A．     B．     C．     D．25．已知P是边长为2的菱形ABCD内一点，若，则的取值范围是A．    B．    C．    D．6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为A．30     B．32     C．36    D．487．如图，直线与函数和的图象分别交于点A，B，若函数的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为A．     B．    C．     D．8．在平面直角坐标系中，，．以下各曲线：①；②；③；④中，存在两个不同的点M，N，使得且的曲线是A．①②     B．③④     C．②④     D．①③二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有A．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8B．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好D．根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X与Y独立10．已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：的焦点为F，，两点在抛物线C上，下列说法中正确的是A．抛物线C的焦点坐标为B．若，则C．若点P的坐标为，则抛物线C在点P处的切线方程为D．若P，F，Q三点共线，则11．已知函数，则下述结论正确是A．是偶函数        B．的周期是πC．函数的图象关于直线对称   D．的值域为12．已知函数，则下列说法正确的是A．在上单调递减     B．恰有2个零点C．若，，则 D．若，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的定义域为              ．14．在正方体中，E，F分别是面和面的中心，则EF和CD所成角的大小是              ．15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项              ．16．已知函数．（1）若，则的解集为              ；（2）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为              ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）等差数列满足，．等比数列为递增数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）删去数列中的项（其中，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列，求数列的前10项和．18．（本小题满分12分）在四边形ABCD中，，．（1）若，求BC；（2）若，求．19．（本小题满分12分）受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率．（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；（2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且．现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC中，，，M，N分别是线段AD，BD的中点，，，，二面角D-BA-C的大小为60°．（1）证明：△ABC为直角三角形；（2）求直线BM和平面MNC所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；（2）若，求证：函数有两个零点．（参考数据：，）22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，，，P为曲线E上一点，直线MP，NP的斜率之积为．（1）求曲线E的标准方程；（2）过点作直线l交曲线E于A，B两点，且点A位于x轴的上方，记直线MB，NA的斜率分别为，．（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）过点B作BC垂直x轴交曲线E于不同于点A的点C，直线AC与x轴交于点D，求△ADF面积的最大值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案DABBACCDABDBDACDABD1．D【解析】，故选D．2．A【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以．故．故选A．3．B【解析】由等比数列的性质知，故，且，所以．故选B．4．B【解析】设圆锥母线长为l，高为，则，所以，所以因为圆锥和圆柱体积相同，所以，解得．故选B．5．A【解析】的模为2，根据菱形ABCD的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选A．6．C【解析】分类，若8排第一位，则两个8占第一、二位，再从四个位置中选两个位置给2，最后排7和1，共种；若8不排第一位，则7或者1排第一位，两个8捆绑，与两个2，以及7和1剩的数排列，共种，因此共36种，故选C．7．C【解析】由题意，，．设，因为△ABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，则，．根据中点坐标公式可得，所以，所以，解得．故选C．8．D【解析】因为且，所以MN是AB的中垂线，又，，所以AB中点为，，故MN所在直线为，即，根据题意，若直线与所给曲线有两个交点则存在M，N满足题意．因为过原点，而原点在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个交点，①符合题意；因为的圆心为，，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，只有一个交点，②不符合题意；把代入，可得，显然方程有两非负解，③符合题意；因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，故④不符合题意．综上，②④错误，①③正确，故选D．9．ABD【解析】A选项，数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故A正确；B选项，线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故B正确；C选项，回归分析中残差平方和越小，决定系数越接近于1，拟合效果越好，故C错误；D选项，由独立性检验可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为X与Y独立，即D正确．故选ABD．10．BD【解析】对于A，由C：，得，则焦点为，故A错误；对于B，设，由抛物线的定义得，，解得，则点P的坐标为或，所以，故B正确；对于C，在点P处的切线方程为，∴，故C错误；对于D，抛物线焦点为，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ方程为．由得，则，，故D正确．故选BD．11．ACD【解析】∵，∴为偶函数，故A正确；∵，，∴的周期不是π，故B错误；∵，∴，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；当时，，，，又由C选项知函数的图象关于直线对称，故可知函数）在区间上的值域为，∵，故函数的值域为．故D正确．故选ACD．12．ABD【解析】对于A，，故在区间，上单调递减，但在定义域上不递减，又，故A正确，B正确；对于C，不妨设，结合的简图如右，由知，或者，或者，而，且，，但当，时，从而此时，故C错误；对于D，，因为在上单调递减，所以，故D正确．故选ABD．三、填空题13．【解析】由题意知，所以，所以函数的定义域为．14．【解析】连接，，则点F为的中点，如右图所示，易知点E为的中点，又因为F为的中点，所以，，所以，EF和CD所成的角为．15．2022【解析】因为，所以，因此．16．（1） （2）【注】第（1）空2分，第（2）空3分【解析】（1）若，则当时在上递增，在上递减，且；当时，，可知在上递增，由知的解集为；（2）由题意，当时，当时，从而；当时恒成立，即恒成立，由知在上递减，在上递增，故．综上．四、解答题17．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，，可得，解得，故．又，，，等比数列为递增数列，故，，．所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．因此．（2）．18．【解析】（1）如图，在三角形ABD中，根据余弦定理可得，，由题得，所以在三角形BCD中，根据余弦定理可得，，所以．（2）设，在三角形ABD中，根据余弦定理可得，，在三角形BCD中，根据余弦定理可得，，所以，得：或（舍），则．19．【解析】（1）法一：记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A，B，C，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E．则，，，，，．根据全概率公式，，即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65．法二：三个年级的学生人数之比为9：6：5，设1份人数为a，所以高一年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，高二年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，高三年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，因此该学生每周运动总时间超过5小时的概率为．（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，所以，由（1）知，，有，所以，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，因此，所以．20．【解析】（1）在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，所以，因为M，N是AD，BD的中点，所以，且，所以，，又因为，，所以，且，BD，平面BCD，故MN⊥平面BCD，因为平面BCD，所以．因为，所以．所以△ABC为直角三角形．（2）由（1），，所以∠CBD即为二面角D-BA-C的平面角，故，因此，，又由（1），，，所以DC⊥平面ABC，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为，，所以AD的中点，．，，所以，．设平面NMC的法向量，则，即，取，得，设直线BM和平面MNC所成角为θ，所以，所以，因此直线B和平面MNC所成角的正弦值等．21．【解析】（1）函数在上单调递减，所以在上恒成立，又，所以要使在上恒成立，则，解得，即所求实的取值范围为．（2）由（1）知在上单调递增，且，，故在上存在唯一零点，即，所以当时，，单调递减；，，单调递增；所以，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以．又，，所以存在，使得，，即函数在上有两个零点．22．【解析】（1）设动点P的坐标为，则，，化简得．（2）（ⅰ）设直线l：，，．把直线与椭圆联立得．则，．∴．（ⅱ）设点，则直线AC：，令．∴．当，即位于椭圆上顶点时，△ADF的面积最大，最大值为．