江苏省淮安市淮阴区2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022~2023学年度第二学期期中调研测试

高一数学试题

考试时间120分钟  满分150分     2023.04

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，，若，则实数（    ）

A．             B．             C．             D．0

2．一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（    ）

A．        B．23          C．             D．19

3．（    ）

A．      B．            C．         D．

4．已知，则（    ）

A．        B．      C．    D．

5．在中，若，，，则（    ）

A．         B．           C．         D．

6．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（    ）

A．           B．           C．         D．

7．若，，则（    ）

A．         B．         C．         D．

8．如图，AB是单位圆O的直径，点C,D是半圈弧AB上的两个三等分点，则（    ）

A．1          B．          C．          D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．关于函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为2              B．的最小正周期为

C．是的一个的零点         D．是的一条对称轴

10．已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则            B．若，则

C．若，，则            D．若，则

11．已知，，分别是两边上的动点，若，则面积的可能取值是（    ）

A．1                B．2            C．3        D．4

12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．与向量方向相反的单位向量的坐标为________．

14．如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数__________．

15．已知，是方程的两根，则__________．

16．中，点是边BC的中点，，，则的最大值为__________．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知，．求：

（1）的值；

（2）的值．

18．（本小题满分12分）

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，．

（1）用余弦定理证明：；

（2）用正弦定理证明：；

（3）用向量的方法证明：．

19．（本小题满分12分）

在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求：

（1）角的大小；

（2）的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知在直角梯形ABCD中，，，若点在线段AC上．

（1）若，求；

（2）求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知，，，直线经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量在直线的法向量上的投影向量的模就是点到直线的距离．

（1）求直线的一个法向量；

（2）运用上述方法，求点到直线的距离．

22．（本小题满分12分）

如图，中，，的平分线AD交BC于．

（1）若，求的余弦值；

（2）若，求AD的取值范围．

参考答案

一、1．C   2．D   3．B   4．B   5．C   6．B   7．A   8．C

二、9．BCD    10．BC   11．AB   12．AD

三、13．   14．    15．    16．

四、

17．解：（1）方法一：因为，所以，

又，

所以．                2分

所以

．                        5分

方法二：由得，，

即．①                2分

又．②

由①②解得或．

因为，所以．                 5分

（2）因为，，

所以．

所以，             7分

．

所以

．                       10分

18．解：（1）证明：根据余弦定理，左边              2分

右边

所以．                    4分

（2）证明：中有，则    6分

所以

由正弦定理：

得．                            8分

（3）证明：中有

所以                       10分

所以

即                             12分

（其它写法参照给分）

19．解：（1）由结合正弦定理可得：

，∴                   2分

为锐角三角形，故．                       4分

（2）由（1）得

                6分

．                                        8分

由可得：，，                10分

则，．

即的取值范围是．                      12分

20．解：以为坐标原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，设，则．             2分

（1），则，所以，

所以．                             5分

（2）由题知：，．                7分

则，

∴

，．                      10分

当时，取得最大值为，

当时，取得最小值为，

∴．                     12分

21．解：（1）设直线的法向量．

由题知直线的一个方向向量为．                  2分

由直线的法向量与直线垂直，则．

所以，取，

则直线的一个法向量．              4分

（满足即可）

（2）向量在法向量上的投影向量．                6分

所以．                               8分

又，．                       10分

所以．

则点到直线的距离为．                      12分

22．解：设A，B，C的对边分别是a，b，c

因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，

又，所以，所以．               2分

（1）由题意，．

中，    （1）

中，          （2）

联立（1）（2）得．               5分

又，则．

所以．             7分

（2）因为，，．

所以           9分

所以．

所以．

因为，所以．

所以．                                  12分