数学九年级下册第二十七章 相似 单元测试卷

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第二十七章 相似 单元测试卷 题　号一二三总　分得　分    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每题3分,共30分)1.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍,那么三角形的每个角(　　)A.都扩大为原来的5倍    B.都扩大为原来的10倍C.都扩大为原来的25倍 D.都与原来相等2.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,BD=3,AE=4,则EC的长为(　　)A.1 B.2 C.3 D.43.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形与△ABC相似的是(　　) 4.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的位似比是1∶2,已知△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是(　　)A.3 B.6 C.9 D.125.如图,已知△ABC和△DEC,E在BC上,AC交DE于F点,且AB∥DE.若△ABC与△DEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=(　　)A.3 B.7 C.12 D.156.如图,在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形,则a,b,c满足的关系式是(　　)A.b=a+c B.b=ac C.b2=a2+c2 D.b=2a=2c7.把长度为4 m的铝线材料从黄金分割点切断后,其中较短一段的长度为(　　)A.(2-2) m   B.(2+2) m C.(3-2) m   D.(6-2) m8.如图,E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BF=CG=DH=AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为(　　)A.     B. C.    D.9.如图,DE是△ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S△CEF∶S四边形BCED为(　　)A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.2∶510.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC.点D是线段AB上的一点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.给出以下四个结论:①=;②若点D是AB的中点,则AF=AB;③当B,C,F,D四点在同一个圆上时,DF=DB;④若=,则S△ABC=9S△BDF,其中正确结论的序号是(　　)A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④二、填空题(每题3分,共24分)11.若线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=5 cm,b=7 cm,c=4 cm,则d=_______________. 12.如图,点E为平行四边形ABCD的边BA的延长线上一点,CE交BD于点F,且CE交DA于点G,则图中与△AGE相似的三角形有_______________.  13.如图,已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶8,那么AE∶AC=___________.14.如图,在△ABC和△EBD中,===,△ABC与△EBD的周长之差为10 cm,则△ABC的周长是___________. 15.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件___________,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)16.如图,在△ABD中,∠ADB=90°,C是BD上一点,若E,F分别是AC,AB的中点,△DEF的面积为3.5,则△ABC的面积为___________. 17.如图,已知在平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1,S2,S3,S4.下面结论:①图中只有一对相似三角形;②EF∶ED=1∶2;③S1∶S2∶S3∶S4=1∶2∶4∶5.其中正确的结论是_________.(填上所有正确结论的序号)18.已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,以此类推……若△ABC的周长为1,则△AnBnCn的周长为_________.三、解答题(19~21题每题10分,其余每题12分,共66分)19.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2;(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=_________.(不写解答过程,直接写出结果)  20.如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于点E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.  21.如图,明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”,它的西面45 m处有一高16 m的小型建筑CD,人站在CD的西面附近无法看到“明珠”外貌,如果向西走到点F处,可以开始看到“明珠”的顶端B;若想看到“明珠”的全貌,必须往西至少再走12 m.求大厦主体建筑的高度(不含顶部的“明珠”部分的高度).  22.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A,B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请求出AN的长,若不能,请说明理由. 23.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,AC为对角线,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)(0≤t≤6)表示移动的时间,那么:(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果相关的结论.(3)直接写出当t为何值时,△PAQ与△ABC相似?   24.如图所示,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E,F两点分别在AB,AC上,AD交EF于点H.(1)求证:=.(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动).设运动时间为t(s),矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.  参考答案一、1.【答案】D　2.【答案】B　 3.【答案】A　4.【答案】D　5.【答案】B　6.【答案】A　7.【答案】D　8.【答案】A9.【答案】A　解：先利用SAS证明△ADE≌△CFE,得出S△ADE=S△CFE,再证明△ADE∽△ABC,且相似比为1∶2,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,得到S△ADE∶S△ABC=1∶4,则S△ADE∶S四边形BCED=1∶3,进而得出S△CEF∶S四边形BCED=1∶3.故选A.10.【答案】C二、11.【答案】 cm　12.【答案】△DGC,△BCE　  13.【答案】1∶3　14.【答案】25 cm15.【答案】∠ACD=∠ABC　解：答案不唯一.还可以填∠ADC=∠ACB或AC2=AD·AB.16.【答案】1417.【答案】③　解：∵AB∥DC,∴∠EAF=∠DCF,∠AEF=∠CDF,∴△AEF∽△CDF,但本题还有几对全等三角形(全等是相似的特例),∴①错误.易知==,∴②EF∶ED=1∶2错误.由题可知S△AEF∶S△CDF=1∶4,S△AEF∶S△ADF=1∶2.∴S1∶S2∶S3∶S4=1∶2∶4∶5,∴③正确.18.【答案】　解：∵A1,B1,C1分别是△ABC的边BC,AC,AB的中点,∴A1B1,A1C1,B1C1是△ABC的中位线,易得△A1B1C1∽△ABC,且相似比为.∵A2,B2,C2分别是△A1B1C1的边B1C1,A1C1,A1B1的中点,易得△A2B2C2∽△A1B1C1,且相似比为,∴△A2B2C2∽△ABC,且相似比为,以此类推,△AnBnCn∽△ABC,且相似比为.∵△ABC的周长为1,Cn的周长为.三、19.分析:(1)根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置,进而得出答案;(2)将△A1B1C1三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2得出各点坐标,进而得出答案;(3)利用位似图形的性质得出位似比,进而得出答案.解:(1)如图:△A1B1C1即为所求;(2)如图:△A2B2C2即为所求;(3)1∶420.解:(1)AD=DE,AE=CE=BE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.∵∠BDC=60°,∠BAC=45°,∠DAE=30°,∴∠EBA=∠EAB=15°,∴AE=BE,即AE=CE=BE.(2)图中有相似三角形,△ADE∽△AEC.(3)如图,过点A作AF⊥BD交BD的延长线于点F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,∠ECD=30°,可得CD=2x,CE=x,故AE=x.在Rt△AEF中,AE=x,∠AED=30°,∴AF=AE=x.∴====2.21.分析:由于大厦西侧的小型建筑物CD的遮挡,人只有向西走到点F处才开始看见“明珠”,这表明F,D,B三点在一条直线上,利用△FAB∽△FCD并结合已知的数据,可以用含有AE的代数式表示AF的长度;观察者往西至少要再走12 m,才能看到“明珠”全貌,那么点F的西面12 m处的点G、点D及明珠底部的点E在同一直线上,再利用△GAE∽△GCD,又可以用含AE的代数式表示AG的长,利用FG=12 m可以列出方程,从而求出大厦的高度.解:设AE=h,易证△FAB∽△FCD,∴=,即=,∴AF=.同理易证△AGE∽△CGD,∴=,即=,AG=.又∵AG-AF=12,∴-=12.整理得h2-16h-960=0,∴h=40或h=-24(不合题意,舍去).∴大厦主体建筑的高度为40 m.22.解:分两种情况讨论:①若△CDM∽△MAN,则=.∵正方形ABCD的边长为a,M是AD的中点,∴DM=AM=a,∴AN=a.②若△CDM∽△NAM,则=.∵正方形ABCD的边长为a,M是AD的中点,∴DM=AM=a,∴AN=a,即N点与B重合,不符合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A,B),使得△CDM与△MAN相似,此时AN=a.23.解:(1)若△QAP为等腰直角三角形,则只需AQ=AP,根据题干条件知AQ=(6-t)cm,AP=2t cm,列方程得6-t=2t,解得t=2,即当t=2 s时,△QAP为等腰直角三角形.(2)四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-三角形CDQ的面积-三角形PBC的面积,设DQ=x cm.根据题干条件可得四边形QAPC的面积=12×6-x·12-×6×(12-2x)=72-36=36(cm2),故可得结论四边形QAPC的面积是矩形ABCD面积的一半.(3)当t=3 s或1.2 s时,△PAQ与△ABC相似.24.(1)证明:∵四边形EFPQ是矩形,∴EF∥QP,∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC,∴AH⊥EF.∴=.(2)解:由(1)得=,∴AH=x.∴EQ=HD=AD-AH=8-x.∴S矩形EFPQ=EF·EQ=x=-x2+8x=-(x-5)2+20.∵-<0,∴当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.(3)解:由(2)得EF=5,EQ=4时矩形EFPQ的面积最大.∵∠C=45°,∴△FPC是等腰直角三角形.∴PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.分三种情况讨论:Ⅰ.如图①所示,当0≤t<4时,设EF,PF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形,∴FN=MF=t.∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2.Ⅱ.如图②所示,当4≤t<5时,ME=5-t,QC=9-t,∴S=S梯形EMCQ=[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28.Ⅲ.如图③所示,当5≤t≤9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC=9-t.∴S=S△KQC=(9-t)2=(t-9)2.综上所述,S与t的函数关系式为S=