江苏省南京市宁海中学2022-2023学年高三4月月考数学试题

这是一份江苏省南京市宁海中学2022-2023学年高三4月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了复数z＝的虚部为，函数的部分图象大致是，若不同两点P、Q均在函数y＝f，已知双曲线C，已知抛物线E等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市宁海中学高三4月月考卷
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合M＝{x|}，N＝{n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M＝（　　）
A．{2，3} B．{3} C．[0，） D．[2，+∞）
2．复数z＝的虚部为（　　）
A．﹣i B．i C．﹣ D．
3．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
4．函数的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在平面ABC上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为（　　）
A．36π B．42π C．54π D．
6．若不同两点P、Q均在函数y＝f（x）的图象上，且点P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“匹配点对”（点对（P，Q）与x＝0视为同一个“匹配点对”）．已知恰有两个“匹配点对”，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，） D．
7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线C的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，则k的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．国家统计局官方网站2021年2月28日发布了《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就．如图是2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图．

给出下列说法：
A从2016年至2020年国内生产总值逐年递增；
B从2016年至2020年国内生产总值增长速度逐年递减；
C从2016年至2020年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；
D从2016年至2020年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
其中正确的是（　　）
10．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是（　　）
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若，则直线AB的斜率为
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的点，且CN＝a（0＜a＜2），则（　　）

A．当时，AM∥平面BDN
B．当a＝1时，点C到平面BDN的距离为
C．当a＝1时，三棱锥A﹣BCN外接球的表面积为9π
D．对任意a∈（0，2），直线AM与BN都是异面直线
12．由倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（n∈N*）次多项式Pn（t）＝a0+a1t+a2t2+…+antn（ao，a1，a2，…，an∈R），使得cosnx＝Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（　　）
A．P3（t）＝4t3﹣3t B．当n≥3时，a0＝0
C．|a1+a2+a3+…+an|≤2 D．sin18°＝
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点D为△ABC的边BC的中点，，，，，的夹角为，则＝　 　．
14．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 　 　．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，acosB﹣bcosA+b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为 　 　．
16．已知函数，则f（2.3）+f（﹣0.3）＝　 　；设数列{an}满足，则此数列的前2023项的和为 　 　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．将函数f（x）的图象按向量平移指的是：当m＞0时，f（x）图形向右平移m个单位，当m＜0时，f（x）图形向左平移|m|个单位；当n＞0时，f（x）图形向上平移n个单位，当n＜0时，f（x）图形向下平移|n|个单位．已知f（x）＝2sin2x，将f（x）的图象按平移得到函数g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[a，b]上至少含30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值；
（3）对任意的，不等式g2（x）﹣mg（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
18．对于数列{an}、{bn}，把和|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|叫做数列{an}与{bn}的前n项泛和，记作为Fn．已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn﹣2an＝﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}与数列{|an|}的前n项的泛和为Fn，且Fn≥λan恒成立，求实数λ的取值范围．
19．四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，PA＝，PB＝PD＝2，＝2，＝，设点T为BC上的点，且二面角B﹣PA﹣T的正弦值为．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）试求P与平面ATE的距离；
（3）判断AF是否在平面ATE内，请说明理由．

20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
在如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块磁撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，⋯，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|．
①求X的分布列；
②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能营利吗？

21．已知椭圆E：的离心率为，椭圆E的短轴长等于4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设A（0，﹣1），B（0，2），过A且斜率为k1的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交⊙C：x2+（y﹣1）2＝1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，直线BM，BN的斜率分别为k3，k4．
①求证：k3•k4为定值；
②求证：直线PQ过定点．

22．已知函数f（x）＝ln（2x﹣1）﹣m（2x﹣1）+1．
（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与直线3x﹣y+2017＝0垂直，求y＝f（x）的极值；
（2）若函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝1的下方．
①求实数m的取值范围；
②求证：对任意正整数n＞1，都有ln[（2n）！]＜．

2022-2023学年南京市宁海中学高三4月月考卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合M＝{x|}，N＝{n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M＝（　　）
A．{2，3} B．{3} C．[0，） D．[2，+∞）
【解答】解：由M中不等式变形得：x2＞3，
解得：x＜﹣3或x＞3，即M＝（﹣∞，﹣）∪（，+∞），
由N中1≤2n≤13，得到n＝1，2，3，即N＝{1，2，3}，
则M∩N＝{2，3}，
故选：A．
2．复数z＝的虚部为（　　）
A．﹣i B．i C．﹣ D．
【解答】解：由复数的运算法则，可得z＝＝＝＝﹣i的虚部为﹣，
故选：C．
3．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
【解答】解：由题意知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，
即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
所以1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．
4．函数的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，，则，
∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，D；
又，故选项C错误；
∴选项A符合题意．
故选：A．
5．已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在平面ABC上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为（　　）
A．36π B．42π C．54π D．
【解答】解：设△ABC的中心为G，延长BG交AC于F，则F为AC中点，连接DF．
由题知DG⊥平面ABC，AC⊥GB，由三垂线定理得AC⊥BD，
又BD⊥CE，
∴BD⊥平面ACD，
又D﹣ABC为正三棱锥，
∴DA，DB，DC两两垂直，
故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，
由AB＝6得，
故正方体外接球直径为，
所以球O的表面积为4πR2＝54π，
故选：C．

6．若不同两点P、Q均在函数y＝f（x）的图象上，且点P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“匹配点对”（点对（P，Q）与x＝0视为同一个“匹配点对”）．已知恰有两个“匹配点对”，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，） D．
【解答】解：函数y＝2ax2（x＜0）的图象关于原点对称的图象所对应的函数为y＝﹣2ax2（x＞0），
f（x）的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数y＝（x≥0）与函数y＝﹣2ax2（x＞0）有两个交点，
即方程﹣2ax2＝（x＞0）有两个不等的正实数根，
即﹣2a＝（x＞0）有两个不等的正实数根，
即转化为函数g（x）＝（x＞0）图象与函数y＝﹣2a图象有2个交点．
g'（x）＝，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→0，
所以g（x）≤g（1）＝，
所以g（x）＝（x＞0）图象与函数y＝﹣2a图象有2个交点，
则0＜﹣2a＜，解得﹣＜a＜0．
故选：B．

7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线C的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，则k的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|PF1|＝4|PF2|，且|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以，，
因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
所以，即，
由题得双曲线的渐近线方程为，即，
又因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝kx，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以k的最小值为，
故选：B．
8．若正实数a，b满足a＞b，且lna•lnb＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．logab＜0 B． C．2ab+1＜2a+b D．ab﹣1＜ba﹣1
【解答】解：根据题意，正实数a，b满足a＞b且lna•lnb＞0，则有a＞b＞1或0＜b＜a＜1，
依次分析选项：
对于A，无论a＞b＞1或0＜b＜a＜1，都有logab＞0，所以A错误；
对于B，a﹣﹣b+＝a﹣b+﹣＝a﹣b﹣（）＝（a﹣b），
当0＜b＜a＜1时，a﹣﹣b+＜0，即a﹣＜b﹣，所以B错误；
对于C，因为ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以ab+1＞a+b，
所以2ab+1＞2a+b，即选项C错误；
对于D，由ab﹣1＜ba﹣1，两边取自然对数，得（b﹣1）lna＜（a﹣1）lnb，
因为（a﹣1）（b﹣1）＞0，所以＜，
设f（x）＝，x∈（0，1）∪（1，+∞），则f′（x）＝，
设g（x）＝1﹣﹣lnx，x∈（0，1）∪（1，+∞），则g′（x）＝﹣＝，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）＜g（1）＝0，所以f′（x）＜0，f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是单调减函数，
所以f（a）＜f（b），即选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．国家统计局官方网站2021年2月28日发布了《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就．如图是2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图．

给出下列说法：
A从2016年至2020年国内生产总值逐年递增；
B从2016年至2020年国内生产总值增长速度逐年递减；
C从2016年至2020年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；
D从2016年至2020年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
其中正确的是（　　）
【解答】解：对于①，由图1可知，从2016年到2020年国内生产总值数不断的增大，
条形图中对应的长方形的高度不断升高，故选项A正确；
对于②，由图2可知，在2016年到2017年国内生产总值增长的折线是上升的，
从6.8到6.9，故选项B错误；
对于③，由图2可知，2016年到2020年第三产业增加值占国内生产总值比重
从52.4→52.7→53.3→54.3→54.5，是不断增加的，故选项C正确；
对应④，由图2可知，在2016年到2017年第二产业增加值
占国内生产总值比重由39.6上升到了39.9，故选项D错误．
故选：AC．

10．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是（　　）
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若，则直线AB的斜率为
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
【解答】解：如图，

由抛物线方程可得，F（1，0），若直线AB的倾斜角为45°，则AB：y＝x﹣1，
联立，得x2﹣6x+1＝0，Δ＝36﹣4＝32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝6，得|AB|＝x1+1+x2+1＝6+2＝8，故A正确；
设AB：x＝my+1，联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣4m）2+16＝16m2+16＞0，，①
∵，∴y1＝﹣2y2，与①联立，
可得，或y1＝，
∴，故B错误；
，即B，O，C三点共线，故C正确；
由已知可得C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），则，
，即CF⊥DF，故D正确．
故选ACD．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的点，且CN＝a（0＜a＜2），则（　　）

A．当时，AM∥平面BDN
B．当a＝1时，点C到平面BDN的距离为
C．当a＝1时，三棱锥A﹣BCN外接球的表面积为9π
D．对任意a∈（0，2），直线AM与BN都是异面直线
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，

对于A，B（2，2，0），N（0，2，，A（2，0，0），M（0，1，2），
则＝（2，2，0），＝（0，2，），＝（﹣2，1，2），
设平面BDN的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，3），
∴＝﹣2﹣1+6≠0，
∴与不垂直，∴AM与平面BDN不平行，故A错误；
对于B，N（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，2，0），
设平面BDN的法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝1，则＝（1，﹣1，2），
∴点C到平面BDN的距离为d＝＝＝，故B正确；
对于C，连接AC，交BD于O，过O作平面ABC的垂线，则外接球球心O′在此垂线上，
设三棱锥A﹣BCN年接球的半径为R，
则R2＝OC2+OO′2＝OC2+（）2＝2+，
∴三棱锥A﹣BCN的外接球的表面积为4πR2＝4＝9π，故C正确；
对于D，对任意a∈（0，2），∵A，B，M 在平面ABC1D1内，点N在平面ABC1D1外，
且直线BN与平面ABC1D交于点B，直线AM不经过点B，
∴直线AM与BN是异面直线，故D正确．
故选：BCD．
12．由倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n（n∈N*）次多项式Pn（t）＝a0+a1t+a2t2+…+antn（ao，a1，a2，…，an∈R），使得cosnx＝Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（　　）
A．P3（t）＝4t3﹣3t B．当n≥3时，a0＝0
C．|a1+a2+a3+…+an|≤2 D．sin18°＝
【解答】解：对于A，因为cos3x＝cos（2x+x）＝cos2xcosx﹣sin2xsinx
＝（2cos2x﹣1）cosx﹣2（sinxcosx）sinx
＝2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx＝4cos3x﹣3cosx，
所以P3（t）＝4t3﹣3t，选项A正确；
对于B，因为cos4x＝cos（2•2x）＝2cos22x﹣1＝2（2cos2x﹣1）2﹣1
＝2（4cos4x﹣4cos2x+1）﹣1＝8cos4x﹣8cos2x+1，
所以P4（t）＝1﹣8t2+8t4，且a0＝1，选项B错误；
对于C，多项式Pn（t）＝a0+a1t+a2t2+…+antn，
对应运算为cosnx＝a0+a1cosx+a2cos2x+…+ancosnx，
当x＝0时，得1＝a0+a1+a2+...+an，
当x＝时，cos＝a0，即a0＝，|a0|≤1；
又1＝|a0+a1+a2+...+an|且|a1+a2+...+an|﹣|a0|≤|a0+a1+a2+...+an|＝1，
所以|a1+a2+...+an|≤|a0+a1+a2+...+an|+|a0|＝1+1＝2，选项C正确；
对于D，因为sin36°＝cos54°，所以2sin18°cos18°＝4cos318°﹣3cos18°，
所以4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°＝，选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
13．已知点D为△ABC的边BC的中点，，，，，的夹角为，则＝　　．
【解答】解：因为，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
14．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 　2　．
【解答】解：的展开式有n+1项，因为仅有第5项的二项式系数最大，
所以n＝8，，
当r＝2时，，当r＝8时，，符合题意，
所以展开式中有理项的个数为2．
故答案为：2．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，acosB﹣bcosA+b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为 　　．
【解答】解：因为acosB﹣bcosA+b＝c，
由正弦定理可知：sin Acos B﹣sin Bcos A+sin B＝sinC，
又因为A+B+C＝π，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
则2cosAsinB＝sinB，
又由于B∈（0，π），
所以sinB＞0，
所以cosA＝，
因为A∈（0，π），
设AD＝x，DB＝DC＝1，
由余弦定理，在△ADB，△ADC中分别有：cos∠ADB＝，cos∠ADC＝，
又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即4＝b2+c2﹣bc，
因为b2+c2≥2bc，
所以4＝b2+c2﹣bc≥，
从而b2+c2≤8，
所以x，当且仅当b＝c时等号成立，
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
16．已知函数，则f（2.3）+f（﹣0.3）＝　　；设数列{an}满足，则此数列的前2023项的和为 　　．
【解答】解：函数，可得f（1﹣x）＝（1﹣x）3﹣（1﹣x）2+1，
f（1+x）＝（1+x）3﹣（1+x）2+1，
则f（1﹣x）+f（1+x）＝（1﹣3x+3x2﹣x3+1+3x+3x2+x3）﹣（1﹣2x+x2+1+2x+x2）+2
＝（2+6x2）﹣2﹣2x2+2＝，即f（x）的图象关于点（1，）对称，
所以f（2.3）+f（﹣0.3）＝；
设S＝a1+a2+...+a2023＝f（）+f（）+...+f（），
则S＝f（）+f（）+...+f（），
所以2S＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+...+[f（）+f（）]
＝++...+＝，则S＝．
故答案为：；．
四．解答题（共6小题）
17．将函数f（x）的图象按向量平移指的是：当m＞0时，f（x）图形向右平移m个单位，当m＜0时，f（x）图形向左平移|m|个单位；当n＞0时，f（x）图形向上平移n个单位，当n＜0时，f（x）图形向下平移|n|个单位．已知f（x）＝2sin2x，将f（x）的图象按平移得到函数g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[a，b]上至少含30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值；
（3）对任意的，不等式g2（x）﹣mg（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的图象按平移，即把f（x）的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
所以g（x）＝2sin2（x+）+1＝2sin（2x+）+1；
（2）由（1）可知g（x）＝2sin（2x+）+1，最小正周期为π，
∵函数g（x）在区间[a，b]上至少含30个零点，
∴sin（2x+）＝﹣在[a，b]上至少有30个解，
∴2x+＝﹣+2kπ或2x+＝﹣+2kπ（k∈Z），
解得x＝k或x＝kπ﹣（k∈Z），
在所有满足上述条件的[a，b]中，函数的图象正好跨过15个波谷，即14个整周期和一个波谷，
∴b﹣a的最小值为14×π＝；
（3）∵，∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，
∴g（x）∈[2，3]，
令t＝g（x），则t∈[2，3]，
∴对任意的t∈[2，3]，不等式t2﹣mt﹣1≤0恒成立，
设h（t）＝t2﹣mt﹣1，则，即，
解得m，
即实数m的取值范围[，+∞）．
18．对于数列{an}、{bn}，把和|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|叫做数列{an}与{bn}的前n项泛和，记作为Fn．已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn﹣2an＝﹣2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}与数列{|an|}的前n项的泛和为Fn，且Fn≥λan恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）当n＝1时，3S1﹣2a1＝a1＝﹣2；
当n≥2时，由3Sn﹣2an＝﹣2①，
可得3Sn﹣1﹣2an﹣1＝﹣2②，
①﹣②得，an＝﹣2an﹣1，
∴数列{an}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
∴；
（2）当n为偶数时，即当n＝2k（k∈N*）时，，
故对任意的k∈N*，都成立，即对任意的k∈N*恒成立，
易知，当k＝1时，，故λ≤1；
当n为奇数时，即当n＝2k+1（k∈N）时，，
故对任意的k∈N，恒成立，即对任意的k∈N*恒成立．
易知，当k＝0时，，故λ≥﹣2．
综上所述，实数λ的取值范围是[﹣2，1]；
19．四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，PA＝，PB＝PD＝2，＝2，＝，设点T为BC上的点，且二面角B﹣PA﹣T的正弦值为．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）试求P与平面ATE的距离；
（3）判断AF是否在平面ATE内，请说明理由．

【解答】解：（1）证明：PB2＝PA2+AB2得，PA⊥AB，
同理可得PA⊥AD又AB∩AD＝D，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD
所以PA⊥平面ABCD．
（2）如图，以点A为原点，AB为x轴，在平面ABCD过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．

解法一：因为PA⊥AB，PA⊥AT．
则∠BAT为二面角B﹣PA﹣T的平面角，
由题意可得：，
考虑△BAT，∠ABT＝60°，可得．
利用正弦定理可得：BT＝1，可得点T的坐标为．
又点，又，得，
＝（1，，），＝（，，0），
设平面ATE的法向量为，
则．
令，则有，
则有：，故P到平面ATE的距离为．
解法二：，则，设平面PAT的法向量为，
则：，即，令x＝1，得，
平面PAB的法向量为，
由，得，进而BT＝1，可得点T的坐标为，
又点，又，得，
＝（1，，），＝（，，0），
设平面ATE的法向量为，
则．
令，则有，
则有：，故P到平面ATE的距离为．
（3）由（2）得，又，得，
若AF在平面ATE内，则应有存在实数m，n满足，
即成立，
，无解，所以AF不在平面ATE内．

20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
在如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块磁撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，⋯，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|．
①求X的分布列；
②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能营利吗？

【解答】解：（1）记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，
小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，
∴这个小球 落入第7层第6个空隙处的概率P（M）＝＝．
（2）①由已知得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，
P（X＝1）＝P（X＝7）＝＝，
P（X＝2）＝P（X＝6）＝＝，
P（X＝3）＝P（X＝5）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
6
7
P







②∵ξ＝|20﹣5X|，
∴ξ的可能取值为0，5，10，15，
P（ξ＝0）＝P（X＝4）＝，
P（ξ＝5）＝P（X＝3）+P（X＝5）＝，
P（ξ＝10）＝P（X＝2）+P（X＝6）＝，
P（ξ＝15）＝P（X＝1）+P（X＝7）＝．
∴E（ξ）＝＝＜8，
∴小明同学能盈利．
21．已知椭圆E：的离心率为，椭圆E的短轴长等于4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设A（0，﹣1），B（0，2），过A且斜率为k1的动直线l与椭圆E交于M，N两点，直线BM，BN分别交⊙C：x2+（y﹣1）2＝1于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，直线BM，BN的斜率分别为k3，k4．
①求证：k3•k4为定值；
②求证：直线PQ过定点．

【解答】（1）解：由题意，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆的标准方程为：；………………………………（4分）
（2）证明①：设MN的方程为y＝k1x﹣1，与，
联立消去y，可得：，…（5分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则恒成立，
∴k3⋅k4＝＝＝＝﹣2……（8分）
②设PQ的方程为y＝k2x+t，与x2+（y﹣1）2＝1联立，
消去y，得，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
则……………………………………（9分）
＝＝＝
＝
＝
＝，
由k3⋅k4＝kBP⋅kBQ，即＝﹣2，∴，此时……………………（11分）
∴PQ的方程为，故直线PQ恒过定点……………………………（12分）
22．已知函数f（x）＝ln（2x﹣1）﹣m（2x﹣1）+1．
（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与直线3x﹣y+2017＝0垂直，求y＝f（x）的极值；
（2）若函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝1的下方．
①求实数m的取值范围；
②求证：对任意正整数n＞1，都有ln[（2n）！]＜．
【解答】解（1由f（x）＝ln（2x﹣1）﹣m（2x﹣1）+1可得f′（x）＝，
由条件可得，即m＝．
则， ，
令f′（x）＝0可得x＝，当x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴f（x）的极大值为，无极小值．
（2）①由条件可知：只需f（x）＜1，即ln（2x﹣1）﹣m（2x﹣1）＜0在上恒成立．
即m（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），而，
∴2x﹣1＞0，∴恒成立．
令，则，令g′（x）＝0可得x＝．
当时g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，
故g（x）的最大值为，
∴m，即实数m的取值范围是．
②由①可知，m＝时，，即ln（2x﹣1）对任意的x恒成立．
令m＝2x﹣1（m∈N+），则1nm．
ln1+ln2+ln3+…+ln（2n），
即ln1+ln2+…+ln（2n）＜，
∴ln[（2n）!]