2023年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试题

这是一份2023年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．2023的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则a的值为（    ）

A． B．5 C．1 D．
3．下列计算正确的是（    ）．
A． B． C． D．
4．如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不能影响汽车的正常通行，电力部门在公路的另一边直立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．测得∠BCD＝60°，∠CDE＝155°，则∠AED的大小为（    ）

A．65° B．55° C．45° D．30°
5．在平面直角坐标系中，点为原点，点，直线交轴于点，交轴于点，若的面积，则（ 　）
A． B． C．或 D．或
6．如图，在中，，，，则的面积为（    ）

A．7 B． C．12 D．14
7．如图，内接于，点是上一点，连接，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为－2，则m的值为（    ）
A． B．或 C．或 D．或2

二、填空题
9．比较大小：__________4  （填：“>”或“<”或“=”）
10．如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边交于点，则_______.

11．黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米．

12．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点B在y轴上，边AB交x轴于点D(，0)，点C的坐标为(﹣4，0)，反比例函数y＝(k≠0)的图象过点A，则k＝_____．

13．如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将折叠，点A的对应点为点A′，连接，交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值是____．


三、解答题
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中.
16．解不等式组：
17．如图，中，，请用尺规作图求作，使点P在上且使与都相切．（不写作法，保留作图痕迹）

18．如图，在四边形中，，，连接，点为线段上一点，连接，若，．求证：．

19．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上．

（1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上．
20．春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“大唐不夜城现代唐人街”，“大唐芙蓉园”，“大明宫”，“西安明城墙景区”，“大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张.
(1)小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为_______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率.
21．如图，小丽家门前有一条河，小丽想用所学的数学知识测量自己家门前小河的宽AB．他站在自家的阳台上（图中的点E），面朝垂直于河岸的方向站立，并确定了两岸的两个可观测点A、B，测得点A的俯角α＝30°，点B的俯角β＝45°，小丽家在三楼，阳台与观测点A、B所在的地平面的距离CE为6米，小明眼睛到阳台地面的距离DE约为1.6米，请根据相关测量信息，求河宽AB（≈1.7，结果保留1位小数）．

22．西安是一个历史悠久风景美丽的城市.已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回忆.为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼.他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如下图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题.

(1)小亮的速度为_______米/分钟，小明跑第一圈的速度为_______米/分钟；
(2)小明出发几分钟时第一次追上小亮？
(3)在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？
23．为了解落实《陕西省大中小学劳动教育实践基地建设指导意见》的实施情况，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是_______，B组所在扇形的圆心角的大小是_______，将条形统计图补充完整；
(2)这次抽样调查中平均每周劳动时间的中位数落在_______组：
(3)该校共有2000名学生，请你估计该校学生平均每周劳动时间不少于的学生人数.
24．如图，四边形为菱形，经过、两点，且与相切于点，与相交于点，

(1)证明：与相切：
(2)若菱形的边长为，的半径为，求的长
25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）.
(1)求点、的坐标；
(2)点为抛物线的对称轴上一点，抛物线关于轴对称的抛物线为，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．问题情境
如图，在四边形中，连接，，，，，点为的中点，连接．以点为中心，顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．

问题探究
(1)如图①，则的长为_______；
(2)如图②，在旋转过程中，当，，三点共线时，求的面积；
(3)如图③，在旋转过程中，连接，，直接写出面积的最大值．

参考答案：
1．B
【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可．
【详解】解：
∴2023的倒数为
故选B．
【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2．C
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形或“Z端”是对面根据这一特点作答．
【详解】解：∵a和是相对面，又相对面上所标的两个数互为相反数，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提．
3．D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项分析判断后求解.
【详解】解：A、∵b5﹒b5=b10，故A错误；
B、∵，故B错误;
C、∵a与不是同类项，不能合并，故C错误；
D、∵，故D正确；
【点睛:】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．B
【分析】根据直角三角形的两锐角互余及平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠BCD+∠BDC=90°，
∵∠BCD=60°，
∴∠BDC=30°，
∵∠CDE=155°，
∴∠EDB=∠EDC-∠BDC=125°，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
∴，
∴∠AED+∠EDB=180°，
∴∠AED=55°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
5．D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，进而可得出，的长，利用三角形的面积公式结合的面积为6，即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，；
当时，，
解得：，
点的坐标为，，．
，即，
解得：或．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征结合的面积为6，找出关于的方程是解题的关键．
6．A
【分析】过点作于点，设，根据正切的定义得出，勾股定理得出，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

设，∵，，
∴，
在中，,
∵
∴
∴
∴的面积为,
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
7．C
【分析】延长交于点，由，过圆心得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质即可得到的度数．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
，
，过圆心，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握垂径定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】由二次函数y=mx2-4mx可得对称轴为x=2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当-2≤x≤3时，函数在x=2取得最小值-2，将x=2，y=-2代入y=mx2-4mx中，解得，当m＜0时，二次函数开口向下，当-2≤x≤3时，函数在x=-2取得最小值-2，将x=-2，y=-2代入y=mx2-4mx中，解得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数为y=mx2-4mx，
∴对称轴为，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=2取得最小值-2，
将x=2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：m=，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=-2取得最小值-2，
将x=-2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：，
综上，m的值为或，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握二次函数对称轴的求法．
9．<
【分析】先把4变形为，再与进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴ ．
故答案为：<．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，要掌握实数大小比较的方法，关键是把有理数变形为带根号的数．
10．/度
【分析】延长交于，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，

则，
，
，
，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的外角和定理、三角形的外角性质、直角三角形两锐角互余，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．
11．/
【分析】由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，，
（米），
即此时主持人与点A的距离为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
12．3
【分析】过点A作AE⊥y轴于E，根据ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∴∠OCB＝∠ABO，然后通过证得△BOD∽△COB，求得OB＝3，利用“角角边”证明△ABE≌△CBO，根据全等三角形对应边相等可得BE＝OC＝4，AE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为(﹣4，0)，点D(，0)，
∴OC＝4，OD＝，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝90°，
∵∠OCB+∠CBO＝90°，
∴∠OCB＝∠ABO，
∵∠COB＝∠BOD＝90°，
∴△BOD∽△COB，
∴，
∴OB2＝OC•OD＝4×＝9，
∴OB＝3，
在△ABE和△CBO中，
，
∴△ABE≌△CBO(AAS)，
∴BE＝OC＝4，AE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点A的坐标为(3，1)，
∵反比例函数y＝(k≠0)的图象过点A，
∴k＝xy＝3×1＝3．
故答案为3．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点A的坐标是解题的关键．
13．
【分析】作点A关于的对称点T，取的中点R，连接，，，，根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理求出，，根据三边关系求出的最小值，再根据，可得结论．
【详解】如图所示：点A关于的对称点T，
取的中点R，连接，，，，

∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵A、关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出的最小值．
14．
【分析】根据二次根式的性质化简，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质化简，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值是解题的关键．
15．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：


；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解，注意：代入的数值要使分式有意义．
16．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
17．详见解析
【分析】作的角平分线交于点P，以P为圆心，为半径作即可．
【详解】解：如图，即为所求作．

【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据得出，根据三角形外角的性质得出，得出，根据已知，得出，进而根据，即可证明．
【详解】证明：如图所示，

∵，
∴，
∵，
∴
∵
，
∵，
∴，
∵，即，
，
在中，

∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可；
（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形为所作．
【详解】.解：（1）如图四边形即为所作，答案不唯一．

（2）如图，四边形即为所求作的正方形．

【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）直接根据概率公式即可求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：∵共有5个地点
∴小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下，




































共有20种等可能结果，其中符合题意的有2种，
∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率为
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
21．河宽AB约为5.3米．
【分析】由题意得：∠C=90°，CD=DE+CE=1.6+6=7.6（米），∠A=α=30°，∠BDC=45°，得出AC=CD=7.6，△BCD是等腰直角三角形，得出BC=CD=7.6，求出AB=AC﹣BC，即可得出结果．
【详解】∵CD⊥AC，
∴∠C=90°，
由题意得：CD=DE+CE=1.6+6=7.6（米），∠A=α=30°，∠BDC=β=45°，
在Rt△ACD中，
∴AC====7.6，
△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD=7.6，
∴AB=AC﹣BC=7.6﹣7.6≈5.3（米）；
答：河宽AB约为5.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，理解题意，求出AC、BC是解题的关键．
22．(1)；
(2)
(3)小亮先跑完两圈到达终点

【分析】（1）根据函数图象可得小亮22.5分钟的路程为3600米，小明21分钟内的路程为4200米，根据路程除以时间即可求解；
（2）设小明出发分钟时第一次追上小亮，根据（1）的结论列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）根据路程除以速度，分别计算两人所需要的时间，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：小亮的速度为：米/分钟；
小明的速度为：米/分钟；
故答案为：；．
（2）解：设小明出发分钟时第一次追上小亮，根据题意得，
，
解得：，
答：小明出发分钟时第一次追上小亮，
（3）解：小亮第二圈需要的时间为：（分钟）
小明第二圈需要的时间为：分钟，
∴小亮用时，（分钟）
小明用时：（分钟）
∴小亮先跑完两圈到达终点．
【点睛】本题考查了根据函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
23．(1)，，统计图见解析
(2)B
(3)

【分析】（1）根据组的人数除以占比得出样本的容量，根据组的人数除以总人数乘以得出组所在扇形的圆心角的大小，进而根据总人数求得组的人数，补全统计图即可求解;
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体，用2000乘以不少于的学生人数的占比即可求解．
【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是，
B组所在扇形的圆心角的大小是，
组的人数为（人），
故答案为：，．
补充条形统计图如图所示，

（2）解；∵，
中位数为第个与第个数的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：．
（3）解：估计该校学生平均每周劳动时间不少于的学生人数为（人）.
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据与相切于点，得出，证明得出，即可得证；
（2）连接，延长交于点，证明，根据，设，则，在中，，得出，然后根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵与相切于点，
∴，
∵经过、两点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，

∴
∴
∴，即与相切；
（2）解：如图所示，连接，延长交于点，

∵
∴垂直平分，
∴,
∵
∴
∵，
∴，
∵菱形的边长为，的半径为，
∴，
∴，
设，则，
∴，  
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，求角的正切值，垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)，
(2)存在，或或

【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解；
（2）先根据轴对称的性质求得，对称轴为，设，，然后分为对角线，根据菱形的性质，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：令抛物线中的，
即
即
解得：，
∴，；
（2）解：∵抛物线关于轴对称的抛物线为，
∴，
∵，；
∴对称轴为，
设，
当为对角线时，，解得：，则

，四边形是菱形，
当为对角线时，，解得：，则    

，四边形是菱形
当为对角线时，，解得，则

，四边形是菱形
综上所述，或或
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，轴对称的性质，菱形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）延长交于点，根据中位线的性质即可求解；
（2）当，，三点共线时，如图所示，过点作于点，连接，过点作于点，根据旋转的性质得出，得出，根据得出，，根据三角形面积公式即可求解；
（3）当到的距离最大时，的面积最大，此时三点共线，根据（2）的结论以及三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，延长交于点，

∵，，
∴，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，为的中点，
∵点为的中点，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）可得：，
∴，
∵顺时针旋转，得到，
∴，，
当，，三点共线时，如图所示，过点作于点，连接，过点作于点，

∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
（3）如图所示，

由（2）可知：，，
∴到的距离，
∴当到的距离最大时，的面积最大，此时三点共线，
∵，
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．