陕西省西安市高新第一中学2022—2023学年九年级下学期期中数学试题

这是一份陕西省西安市高新第一中学2022—2023学年九年级下学期期中数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省西安市高新第一中学2022—2023学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在，，，，，，
这些数中，无理数的个数为（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，，，平分，则为（    ）

A． B． C． D．
3．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000108m，该数值用科学记数法表示为 （  ）
A．1.08×10－4 B．1.08×10－5 C．－1.08×105 D．108×10－6
4．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
6．若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，若连接，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
8．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表：




1
2





3
4
3


有下列四个结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③0和1是方程的两个根；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．
A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题
9．把多项式分解因式的结果是______．
10．将正六边形和正五边形按如图所示的位置摆放，连接，则______．

11．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是_________米．

12．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是_________．
13．如图，正方形的边长为，是边的中点，点是正方形内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．


三、解答题
14．计算：
15．解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解
16．化简：，然后从，1，3中选一个合适的值代入求解．
17．如图，在矩形中，，在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；

18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，对角线，相交于点，，，垂足分别是，，求证；

19．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点的坐标为（1，2）．

(1)直接写出点B的坐标为___；
(2)求△ABC的面积；
(3)将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的 ，并写出三个顶点的坐标．
20．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

(1)本次调查的样本容量是__________，项活动所在扇形的圆心角的大小是_________，条形统计图中项活动的人数是_________；
(2)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
21．数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度．无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为18米的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同平面内）．

(1)求楼的高度（结果保留根号）；
(2)求此时无人机距离地面的高度．
22．2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．

23．在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共辆A、B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号
载客量
租金单价
A
人/辆
元/辆
B
人/辆
元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝时，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

26．综合与实践
【知识方法】
（1）如图1，在与中，，连接、，则与的数量关系是___；
【类比迁移】
（2）如图2，正方形与正方形共用点D，连接、、，试探究与之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】
（3）如图3，点P是矩形边上的动点，连接，将绕点P顺时针旋转至，交于点G，将绕点P顺时针旋转至，连接、、，若，求四边形面积的最小值．

参考答案：
1．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是有理数，
，，是无理数，共有个．
故选：B．
【点睛】本题考查无理数，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：（相邻两个之间依次多个）；③含有的数，如：．解题的关键是正确理解无理数的定义，
2．C
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本考查平行线的性质、角平分线的概念．掌握平行线的性质是解题的关键．
3．B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000105=1.05×10-5，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算选择即可．
【详解】A、不是同类项，无法计算，故本项错误，不符合题意；
B、，故本项错误，不符合题意；
C、，故本项错误，不符合题意；
D、，故本项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．A
【分析】先根据点、分别是边、的中点可知是的中位线，故可求出，再由翻折变换的性质可知，由平角的性质即可求解．
【详解】解：∵点、分别是边、的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是经过翻折变换得到的，
∴，
∴

．
故选：A．
【点睛】本题考查图形翻折变换的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线的性质，平角的性质．熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键．
6．D
【分析】根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【详解】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
故直线l2的解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
7．D
【分析】根据内接四边形的性质，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．
8．B
【分析】根据二次函数对称性及表格中点，，可判断开口及对称轴为，即可判断①②，根据点及对称点即可判断③，根据对称性找到的对称点，根据二次函数性质及列不等式即可判断④．
【详解】解：由表可得，
点，，在函数图像上，
∴二次函数开口向下，，对称轴为，，
∴①正确，②错误；
∵函数经过点，
∴ ，
∴1是方程的根，
根据对称性可得点的对称点可得，即，
可得③正确；
根据对称轴及点可得对称点为，
∵，对称轴，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，故④正确
故选B．
【点睛】本题考查二次函数性质与式子的符号问题，解题的关键是根据表格点的坐标得到解析式．
9．
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．/24度
【分析】根据题意可得，，即可得，根据题意得，即可得．
【详解】解：在正六边形中，内角和为：，
则,
在正五边形中，内角和为：，
则,
∴，
∵为正六边形和正五边形的边，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．
11．/
【分析】设下部高为米，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部高为米，则上部高度为米，
根据题意，得，
解得，（舍去），
经检验：是原方程的解，
下部高为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．
12．-2
【分析】联立方程组，用含k的式子表示，再代入求解即可．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
∴
解得：或，
∴，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．
13．
【分析】如图，连接，将线段绕点C逆时针旋转得，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接，将线段绕点C逆时针旋转得，连接，，
，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形中，，O是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴线段OF的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
14．
【分析】先计算特殊角的正弦值、算术平方根、负整数指数幂、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了特殊角的正弦值、算术平方根、负整数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
15．，数轴见解析，整数解为，0，1，2
【分析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，最后求出该不等式组的非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以，原不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

故不等式组的整数解为，0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
16．，当时，原式
【分析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后从，1，3中选择一个使原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，原分式无意义，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．作图见解析，理由见解析
【分析】利用基本作图，过点作于点即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
则即为所作．

【点睛】本题考查作图—基本作图：熟练掌握种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
18．见解析
【分析】已知，，结合，可证，得到，即平分，结合，，即可得证．
【详解】在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．(1)
(2)5
(3)图象见解析，，，.

【分析】（1）利用坐标系可得答案；
（2）利用矩形面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可.
【详解】（1）点的坐标为；
（2）的面积为；
（3）如图所示：即为所求；，，.

【点睛】本题考查了图形在方格中的平移，以及求三角形的面积，求解三角形面积方法：
1、“补”的方法，将其补为一个矩形，计算矩形的面积后减去周边三个三角形面积即可；
2、“割”的方法，将三角形沿着竖直线或水平线分割后求解三角形面积；
3、底高.
20．(1)80，，20
(2)大约有800人

【分析】（1）根据“总体=部分÷对应百分比”与“圆心角度数=360°×对应百分比”可求得样本容量及B项活动所在扇形的圆心角度数，从而求得C项活动的人数；
（2）根据“部分=总体×对应百分比”，用总人数乘以样本中“参观学习”的人数所占比例可得答案．
【详解】（1）解：样本容量：16÷20%=80（人），
B项活动所在扇形的圆心角：，
C项活动的人数：80－32－12－16=20（人）；
故答案为：80，54°，20；
（2）解：（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的学生大约有800人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，读懂图，找出对应数据，熟练掌握总体、部分与百分比之间的关系是解题的关键．
21．(1)米
(2)138米

【分析】（1）由题意可得米，米，在中，，结合可得出答案．
（2）作于点，可得，再根据可得出答案．
【详解】（1）如图1，过点作于点得矩形

则米，米．
在中，，，
∴
∴
∴．
∴
答：楼高度为米；
（2）如图，作于点，

则，，
依题意，知，，
，
∴
∴
在中，，．
∴
∴
∴
在中，，，
∴
∴
∴．
∴无人机距离地面的高度为138米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：

共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，
∴．
【点睛】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．(1)， x的取值范围为的整数
(2)共有种租车方案，当租用A型号客车辆B型号客车辆时，最省钱

【分析】（1）根据租车总费用等于A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（1）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；
【详解】（1）根据题意：．
∵，
∴，
∵x为整数，
∴x的取值范围为的整数．
（2）根据题意：，
∴，
∵x为整数，
∴，
∵，
∴共有种租车方案，
由于，，
∴时，y有最小值（元）．
答：共有种租车方案，当租用A型号客车辆B型号客车辆时，最省钱
【点睛】本题考查一次函数的实际应用：分配方案问题、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，利用函数的性质解决最值问题．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OM，根据等腰三角形的得出∠AEB=90°，∠OBM=∠OMB，再由角平分线的性质证得∠OBM=∠MBE，即∠OMB=∠MBE，进而证得∠AMO=90°即可得出结论；
（2）先求出AB的长，再证明△AOM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】（1）证明：连接OM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠MBE，即∠OMB=∠MBE，
∴OM∥BC，
∴∠AMO=∠AEB=90°，
∴AE与⊙O相切；
（2）∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE，AE⊥BC，
∵BC=6，cosC＝= ，
∴BE=CE=3，AB=AC=9，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴，
设半径为r，则，
解得：r= ，
即⊙O的半径为．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、锐角的三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
25．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由见解析；符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．
【分析】（1）先求出点C的坐标，在由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式.
2）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可.
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，
∴c=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③当PC=BC时，
∴3=，
∴m=﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质.
26．（1）（2），理由见详解（3），理由见详解
【分析】（1）根据题中条件证明即可得到答案．
（2）根据题中条件证明即可得到答案．
（3）连接，根据条件证明，从而得出，要是四边形面积有最小值，则有最小值，即有最大值，根据条件证明即可得到答案．
【详解】解：（1）；
在和中，

∴，
∴；
解：（2）；
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
解：（3）连接，如图所示，

由旋转性质可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，即有最小值，且最小值，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，综合性较强，正确做出辅助线和找出相似三角形时解题关键．